Exemplarischer Unterschied von Turing Maschine und morphogrammatischer Maschinerie

Übergang von der Turing Berechnungsmaschine zur morphogrammatischen Umformungsmaschinerie

Rudolf Kaehr Dr. phil@

Copyright ThinkArt Lab ISSN 2041-4358

 

Abstract

Der exemplarischer Unterschied einer Turing Maschine und ihrem morphogrammatischen Analogon, der morphoTM, wird in didaktischer Absicht eingeführt als eine Dekonstruktion der klassischen Begriffsbildungen der Definition einer Turingmaschine.
Der Text ist in didaktischer Absicht verfasst, und lässt sich in vielen Teilen weitgehend ergänzen. Einige spekulative Motive werden entwickelt. Es wird auch auf die Publikation hingewiesen: Marc Jongen (Hrsg.) Was wird Denken heißen? Kognition und Psyche im posthumanen Zeitalter, Wilhelm Fink Verlag, 2013
(Work in progress, vers. 0.6, April 2013)

1.  Definition klassischer Turing-Maschinen

1.1.  Motivation für eine Dekonstruktion von TMs

Ziel ist es, in einem ersten Schritt einer Dekonstruktion der Konzepte und Techniken der klassischen Turingmaschine, eine Idee einer dazu äquivalenten Konzeption und Apparatur einer morphogrammatischen (Turing-)Maschine einzuführen.

Eine Dekonstruktion in diesem Sinne geht von einem etablierten klassischen Gebilde (Konzept, Konstruktion, Konvention) aus und hinterfragt schrittweise alle seine Grundvoraussetzungen.

Die Mechanismen der Dekonstruktion (Derrida), Verschiebung und Verkehrung (renversement, déplacement), werden hier hier nicht speziell thematisiert und kommen nur hintergündig ins Spiel. Sie sind in aller Ausführlichkeit in früheren Publikationen zur Genüge expliziert worden.

Dekonstruktion heisst hier vorerst Demontage, gefolgt von dem Versuch eines ‘subversiven’ Re-Engineering.

Daher haben sich alle Elemente einer Turing-Maschine einer solchen Prozedur der Dekonstruktion zu unterziehen.

Die Elemente einer Turing-Maschine sind:

Band,
Lese und Schreibkopf,
Bewegung des Lesekopfes, L, R
Zustände, z,
Anfangs- und Endzustand
Übergangsfunktion, f(z, n).

Erste Dekonstrutionstabelle

typeset structure

In einem aller ersten Schritt einer solchen Dekonstruktion ist es nicht abwegig, Morphogramme erst einmal bloss als einen speziellen, eventuell neuen  Datentyp einer TM anzusehen. Und daher vom klassischen Datentyp einer Zeichenreihe definiert über einem Alphabet über die Abstraktionsklasse der Stirlingverteilung von Zeichenreihen zum postulierten ‘Datentyp’ der Morphogramme der Tritostufe überzugehen.

Im Gegensatz zu Zeichenreihen der TM werden Konstellationen von Kenogrammen für die morphogrammatische Maschine eingesetzt. Solche Konstellationen sind Relationsgebilde, d.h. Ordnungsstrukturen, allerdings nicht zwischen Zeichen, sondern zwischen Kenogrammen, und müssen daher tabular und nicht linear notiert werden. Die neuen Konstellationen werden über einer kenogrammatisch definierten Topologie definiert.

Es wird allerdings nicht leicht sein, diesen Datentyp via “Gödelisierung” im Nachhinein wieder zu linearisieren.

Ein zweiter Schritt weist unweigerlich neue strukturelle Eigenschaften des Verhaltens einer morphogrammatischen Turing Maschine, gennant, morphoTM, auf.

Diese betreffen vorerst die Übergangsfunktion. Aus der Übergangsfunktion als Abbildung (mapping) wird eine Aktion des Differenzierens (differentiation).

Solche morphoTMs gehören der Klasse der morphogrammatischen Finiten Automaten (Finite State Machines) an, und wurden in früheren Arbeiten als morphoFSM konzipiert und analysiert. Diese sind nicht eigentich State Machines, sondern Differentiation Machines.

Zwangsläufig ergibt sich aus der Struktur der Morphogramme und ihrer Gesetzlichkeiten, dass die Vorgabe eines Maschinenbandes für eine Folge von linear geordneten Zeichenreihen, also Sukzessionen mit linearer Struktur, nicht mehr tragfähig ist.

Im Zuge einer solchen Dekonstruktion lässt sich die Unschuld des Lesekopfes nicht mehr halten. Morphogramme verlangen zu ihrer Lesbarkeit mindestens einen Doppelkopf. Was gelesen wird, um bei der Metapher zu verbleiben, ist nicht ein Zeichen in seiner atomaren Provinienz und Isolation, sondern einzig und allein Differenzen. Durchaus auch Differenzen zwischen Zeichen.

Damit entfällt ein weiterer wichtiger Baustein für eine morphogrammatische Analogiebildung.

Die einfachen Leseoperationen R und L, für die Bewegung des Lesekopfes nach rechts und nach links, setzen trivialerweise eine lineare Struktur des Lesebandes wie der zu lesenden Daten, Zeichenreihen, voraus.

Eine Dekonstruktion dieser Linearität hat die Ordnungsstruktur der Leseoperationen mitanzugeben, also ord(L) und ord(R). Die Ordnungsstruktur ord muss per Konvention nummeriert sein, num, die Gesamtoperation des Lesens und Schreibens is somit num(ord(Morphogram)).

Damit ist auch klar, dass das simple L und R einer TM, ein Spezialfall von num(ord) ist. Für num linear succ(n) = n+1 und ord = 1, ist ord(num) reduziert auf L und R.

Die Nummerierung der Ordnungsstruktur ermöglicht eine Linearisierung. Diese basiert aber auf einer Konvention, und kann daher auch anders vorgenommen werden.

Das heisst also, dass die Bewegung rechts oder links, L oder R, der nummerierten Ordnungsstruktur entlang läuft, die für Morphograme nicht notwendigerweise linear sein muss, wie dies für den Fall der Zeichenreihen der TM notwendigerweise gilt.

Dies ist wiederum im strikten Gegensatz zur klassischen Definition. Weitere konservatve Erweiterungen und Modifikationen der ursprünglichen Konzeption der TM, wie Mehr-Band, Mehr-Kopf oder Orakel Maschinen, usw., werden hier nicht thematisiert.

Ebenso ist die Schrittoperation, die von einem Zustand zu einem nächsten Zustand führt, für eine morphoTM nicht mehr eindeutig. Dieser Unterschied zwischen Eindeutigkeit und ‘Mehrdeutigkeit’ erscheint auf der Ebene einer (deterministischen) Turing-Maschine und ist nicht erst auf der Ebene nicht-deterministischer TMs angesiedelt.

Schon aus diesen wenigen Dekonstruktionschritten folgen weitreichende Konsequenzen für das Verhalten von morphoTMs. Insbesondere sind die verschiedenen Interaktionen (Koalitionen, Kooperationen, usw.) zwischen verschiedenen morphoTMs grundlegend verschieden vom klassischen Vorbild.

Die schematische Differenz zwischen dem Lesekopf einer Turing Maschine und einem morphoTM Doppelkopf wird im folgenden Diagramm dargestellt.  

Für das Identifikationsschema gilt:
Zwei Zeichenreihen sind identisch, wenn sie in jedem Teilzeichen der Zeichenreihen übereinstimmen.
Für das Differenzenschema gilt:
Zwei Morphogramme sind äquivalent, wenn sie für jede Differenz der Morphogramme übereinstimmen.
Für beide gilt in diesem Falle, der Metamorphosen ausschliesst, dass ihre Inskriptionen semiotisch von gleicher Länge sind.

typeset structure

http://memristors.memristics.com/MorphoFSM/Finite%20State%20Machines%20and%20Morphogrammatics.pdf

1.2.  Definition einer Turingmaschine

1.2.1.  Programm einer Turingmaschine

Aufgabe:

Einfügen eines Zeichens am Anfang und Ende der Zeichenkette (010011).
Band am Anfang (Anfangszustand):      010011
Band am Ende  (Endzustand):              a010011a .

Das Turingmaschinenprogramm besteht aus den sechs Befehlen (für 'leer' wird das
Zeichen # verwendet):
(z1, 0, R) :=  f(z1, 0)   Lies und schreibe 0 und gehe nach rechts
(z1, 1, R)  := f(z1, 1)   Lies und schreibe 1 und gehe nach rechts
(z2, a, L)  :=  f(z1, #)   Lies Leerzeichen, schreibe a und gehe nach links
(z2, 0, L)  :=  f(z2, 0)   Lies und schreibe 0 und gehe nach links
(z2, 1, L)  :=  f(z2, 1)   Lies und schreibe 1 und gehe nach links
(z3, a, R)  :=  f(z2, #)   Lies Leerzeichen, schreibe a und gehe nach rechts.

#  bedeutet das Leerzeichen (unbeschriebene Bandzelle).

Ich folge hier der didaktischen Darstellung, die von Goldammer in Folie 005 gegeben hat.

http://www.vordenker.de/vgo/anmerkungen_leibniz_b.pdf

[Graphics:HTMLFiles/Unterschied_3.gif]
1.2.2.  Zustandsgraph des Programmes einer Turingmaschine

Der Zustandsgraph veranschaulicht die beiden Aktionen, dem Wort am Ende ein Zeichen hinzuzufgen, wie auch rückwärts, am Anfang des Wortes das Zeichen “a” anzufügen.

[Graphics:HTMLFiles/Unterschied_4.gif]

Den Graphen liest oder arbeitet man wie folgt ab: (Ablauftabelle).
1.2.3.  Ablauftabelle des Programmes einer Turingmaschine

Die Zeichenfolge lautet (Band im Anfangszustand):  010011
t01 : Wir beginnen bei z1 :  wir lesen 0 und schreiben 0 und bewegen uns nach R
t02 : Wir sind noch in z1  :  wir lesen 1 und schreiben 1 und bewegen uns nach R
t03 : Wir sind noch in z1  :  wir lesen 0 und schreiben 0 und bewegen uns nach R
t04 : Wir sind noch in z1  :  wir lesen 0 und schreiben 0 und bewegen uns nach R
t05 : Wir sind noch in z1  :  wir lesen 1 und schreiben 1 und bewegen uns nach R
t06 : Wir sind noch in z1  :  wir lesen 1 und schreiben 1 und bewegen uns nach R
t07 : Wir sind noch in z1  :  wir lesen # und schreiben a und bewegen uns nach L
Zwischenresultat  :     010011a

t08 : Wir sind jetzt in z2  :  wir lesen 1 und schreiben 1 und bewegen uns nach L
t09 : Wir sind noch in z2  :  wir lesen 1 und schreiben 1 und bewegen uns nach L
t10 : Wir sind noch in z2  :  wir lesen 0 und schreiben 0 und bewegen uns nach L
t11 : Wir sind noch in z2  :  wir lesen 0 und schreiben 0 und bewegen uns nach L
t12 : Wir sind noch in z2  :  wir lesen 1 und schreiben 1 und bewegen uns nach L
t13 : Wir sind noch in z2  :  wir lesen 0 und schreiben 0 und bewegen uns nach L
t14 : Wir sind noch in z2  :  wir lesen # und schreiben a und bewegen uns nach R
t15 : Wir sind jetzt in z3  :  in z3 hält die Maschine an.

Resultat: Die Zeichenfolge lautet (Band im Endzustand): a010011a .
1.2.4.  Nachbemerkungen

Für jemanden, der sich bis dahin nicht mit der Materie beschäftigt hat, ist es beruhigend zu wissen, dass sich Turing-Maschinen für kompliziertere Aufgaben modular aus einfachen Teilmaschinen zu “zusammengesetzten Turingmaschinen” aufbauen lassen. (Hermes, 1961, p. 45)

So ist direkt aus dem obigen Beispiel leicht ersichtlich, dass sich sowohl eine Rechts- wie eine Links-Lese/Schreibmaschine als unabhängige Module separieren lassen. Beide Module sind miteinander seriell verknüpft.

Hans Hermes hat in seinem wegweisenden Buch “Aufzählbarkeit, Entscheidbarkeit, Berechenbarkeit” schon 1961, basierend auf Arbeiten aus den fünfziger Jahren, alle entscheidenden Definitionen, Beweise und Konstruktionen für eine Theorie der Berechennbarkeit in aller Ausführlichkeit in deutscher Sprache verfasst.

Auf den Seiten 50/51 sind die wichtigsten Module für zusammengesetzte Turingmaschinen in einer formalen und einer graphischen Form aufgelistet.

Eine lesenswerte Darstellung mathematischer Art auf Deutsch gibt z.B. Jürgen Dassow mit:
http://theo.cs.uni-magdeburg.de/lehre03w/ti_if/ti_if02_f03.pdf
Oder auch:
Klaus Ambos-Spies, Turingmaschinen
http://www.math.uni-heidelberg.de/logic/md/lehre/folien_03_dvg2-pdf.pdf
Ebenso lesenswert in Englisch ist:
http://webloria.loria.fr/~blackbur/courses/math/l1.pdf,  lectures (l1-l6)

1.3.  Definition morphogrammatischer Turing-Maschinen

1.3.1.  Morphogrammatisches Programm einer Turing-Maschine

Das Turing Maschinenprogramm für Morphogramme besteht aus den sechs Befehlen (für ‘leer'wird das Zeichen # verwendet):

(z1, E, R(s(m))        :=  f(z1, E)  Lies und schreibe E und gehe nach rechts im Graphen
(z1, N, R(s(m)))      :=  f(z1, N)  Lies und schreibe N und gehe nach rechts
(z2, new, L(s(m)))   :=  f(z1, #)  Lies Leerzeichen #, schreibe new und gehe nach links
(z2, E, L(s(m)))       :=  f(z2, E)  Lies und schreibe E und gehe nach links
(z2, N, L(s(m)))       :=  f(z2, N)  Lies und schreibe N und gehe nach links
(z3, new, R(s(m)))   :=  f(z2, #)  Lies Leerzeichen #, schreibe new und gehe nach rechts

Der Term new entspricht dem Zeichen “a” der TM, entstammt jedoch nicht aus einem vorgegebenen Alphabet, sondern wird in Abhängigkeit zur Struktur des vorgefundenen Wortes in der Topologie des TM-Bandes berechnet.

Die Funktion new ist daher nicht eindeutig, sondern kontextuell abhänig vom Morphogramm (MG) und wird als Aggregationsgrad “AG” durch AG(MG) berechnet.

Beispiel:
MG = [1,0,1,1,0]
AG ([1,0,1,1,0]) = {0,1}
AGaccr = AG +1.

Der Trick der vorgestellten Implementierung besteht allerdings darin, dass die retro-grad rekursive Prozedure vorerst ausgeklammert, und der Wert für “new” vorgegeben, statt berechnet wird.

Morphogrammatische Interpretation des ‘Ausgangszustandes'
Gegeben sei das Morphogram [010011], produziert werde das Morphogramm [a010011a].

Bevor die morphoTM etwas berechnen kann, muss sie das Morphogram als Anfangszustand lesen.

Diese Prozedure wird durch die EN-Struktur des Morphogrammes unterstützt. Daher soll als Erstes die EN-Struktur des Morphogrammes angegeben (berechnet) werden.

Das Morphogram [010011] hat die EN-Struktur:

- ENstructure [0,1,0,0,1,1];
val it =
[[],
[(1,2,N)],
[(1,3,E),(2,3,N)],
[(1,4,E),(2,4,N),(3,4,E)],
[(1,5,N),(2,5,E),(3,5,N),(4,5,N)],
[(1,6,N),(2,6,E),(3,6,N),(4,6,N),(5,6,E)]] : (int * int * EN) list list

Die EN-Struktur von [010011] als Tabelle mit Nummerierung, mit N≡v und E≡e ist:

typeset structure

Die EN-Struktur von [010011] nummeriert, ist die Linearform:
(N1,E2,N3,  E4,N5,E6,  N7,E8,N9,N10,  N11,E12,N13,N14,E15).

Diagramm der FSM-Maschine der morphoTM[010011]

[Graphics:HTMLFiles/Unterschied_6.gif]

Diagram der morphoTM-[01011]new (rechts)

[Graphics:HTMLFiles/Unterschied_7.gif]
Vollständiger Zustandsgraph für morphoTM-(new[010011]new)
(rechts+links)

[Graphics:HTMLFiles/Unterschied_8.gif]

Nummerierung der Subsysteme und Verortung (Position)
Die Nummerierung der Subsysteme und deren Positionen des Morphogrammes  [0,1,0,0,1,1] werden durch die ML-Funktion subsystem (n) berechnet:

subsystems 6;
val it =
  [(1,[1,2]),(2,[2,3]), (3,[1,3]),
    (4,[3,4]),(5,[2,4]),(6,[1,4]),
    (7,[4,5]),(8,[3,5]),(9,[2,5]),(10,[1,5]),
    (11,[5,6]),(12,[4,6]),(13,[3,6]),(14,[2,6]),(15,[1,6])] : (int * int list) list

Die Berechnungen basieren auf dem Programmpacket:

System: SML/NJ: http://www.smlnj.org/,
Morphogrammatics: http://www.thinkartlab.com/pkl/SML-sources.NJ/ALL-MG-nov2012.sml
Book Morphogrammatik: http://www.thinkartlab.com/pkl/media/mg-book.pdf

Damit sind nun die Vorbereitungen gegeben, um den Job, dem Morphogram [0,1,0,0,1,1] ein Element an das “Ende” und in einem zweiten Durchlauf (run) an den “Beginn” anfügen zu können.

Es wird noch angenommen, dass “a” als new weder “0” noch “1” ist, es kann also als “2” notiert werden.

Somit ist das Morphogramm, das gesucht oder konstruiert werden soll, das Morphogramm [20100112].

Dieses Morphogramm hat die Trito-Standard-Normalform tnf [1,2,3,2,2,3,3,1].

Diese Funktion, tnf, führt eine beliebige Notation für ein Morphogramm in seine kanonische Normalform zurück.

Die Normalform für [2,0,1,0,0,1,1,2] ist berechnet durch:

- tnf[2,0,1,0,0,1,1,2];
val it = [1,2,3,2,2,3,3,1] : int list

Somit ist endlich der Task für die morphogrammatische Turing Maschine, morphoTM, klar definiert. Sie soll das Morphogramm [1,2,3,2,2,3,3,1] aus dem Morphogramm [0,1,0,0,1,1] erzeugen.

Diese Normalisierung der Morphogramme in eine kanonische Normalform erfolgt mehr in didaktischer denn in systematischer Absicht.

Berechnung des Resultats “rechts” gemäss vollständiger Zustandsgraph:
Die EN-Struktur für [0,1,0,0,1,1] ist:
    (N1,E2,N3,  E4,N5,E6,  N7,E8,N9,N10,  N11,E12,N13,N14,E15)

Das Morphogramn lautet (Band im Anfangszustand):   [0,1,0,0,1,1]
t01 : Wir beginnen bei pos1 : wir lesen N1, schreiben N, bewegen uns nach R
t02 : Wir sind noch in pos1  : wir lesen E2, schreiben E, bewegen uns nach R
t03 : Wir sind noch in pos1  : wir lesen N3, schreiben N, bewegen uns nach R

t04 : Wir sind noch in pos1  : wir lesen E, schreiben E, bewegen uns nach R
t05 : Wir sind noch in pos1  : wir lesen N, schreiben N, bewegen uns nach R
t06 : Wir sind noch in pos1  : wir lesen E, schreiben E, bewegen uns nach R

t07 : Wir sind noch in pos1  : wir lesen N, schreiben N, bewegen uns nach R
t08 : Wir sind jetzt in pos1  : wir lesen E, schreiben E, bewegen uns nach R
t09 : Wir sind noch in pos1  : wir lesen N, schreiben N, bewegen uns nach R
t10 : Wir sind noch in pos1  : wir lesen N, schreiben N, bewegen uns nach R

t11 : Wir sind noch in pos1  : wir lesen N, schreiben N, bewegen uns nach R
t12 : Wir sind noch in pos1  : wir lesen E, schreiben E, bewegen uns nach R
t13 : Wir sind noch in pos1  : wir lesen N, schreiben N, bewegen uns nach R
t12 : Wir sind noch in pos1  : wir lesen N, schreiben N, bewegen uns nach R
t14 : Wir sind noch in pos1  : wir lesen E, schreiben E, bewegen uns nach R
t15 : Wir sind noch in pos1  : wir lesen #, schreiben new, bewegen uns nach R

  (new: hier sollte der Aggregationsgrad AG des Morphogrammes berechnet werden.)

          ... zweiter Durchlauf (links) ...

t30 : Wir sind noch in pos2  : wir lesen #, schreiben new, bewegen uns nach R
t31 : Wir sind jetzt in pos3  : in pos3 hält die Maschine für den zweiten Durchlauf an.

Das Resultat “rechts”  (erster Durchlauf) ist: [0,1,0,0,1,1,2]

Dasselbe wird nun wiederholt mit “links”, allerding mit dem neuen Start [0,1,0,0,1,1,2] :
Erstes, iteratives, Resultat für Durchlauf “rechts+links” in tnf: [1,2,3,2,2,3,3,1].

Dieser neue Start des ersten Durchlaufs [0,1,0,0,1,1,2] muss für den zweiten Durchlauf akzeptiert werden, da die zwei Durchläufe (runs), nach Vorlage, hintereinander ausgeführt werden sollen.

Endzustand
Die Morphogramme im Endzustand lauten (Band im Endzustand):  
a) im iterativen Durchgang:   [2,0,1,0,0,1,1,2], d.h. in tnf [1,2,3,2,2,3,3,1] und
b) im akkretiven Durchgang : [3,0,1,0,0,1,1,2], d.h. in tnf [1,2,3,2,2,3,3,4].

Die gestellte Aufgabe, dem Morphogramm [0,1,0,0,1,1] am “Anfang” und am “Ende” ein neues Kenogramm anzufügen, hat somit zwei Lösungen. Die Anzahl der Lösungen wird durch AGaccr(MG) berechnet.

Standardform
- tnf [2,0,1,0,0,1,1,2];
val it = [1,2,3,2,2,3,3,1] : int list

Die EN-Struktur des ersten Resultats, [1,2,3,2,2,3,3,1], ist gegeben durch die ML-Funktion ENstructure.

ENstructure[1,2,3,2,2,3,3,1]
- ENstructure [1,2,3,2,2,3,3,1] ;
val it =
[[],
[(1,2,N)],
[(1,3,N),(2,3,N)],
[(1,4,N),(2,4,E),(3,4,N)],
[(1,5,N),(2,5,E),(3,5,N),(4,5,E)],
[(1,6,N),(2,6,N),(3,6,E),(4,6,N),(5,6,N)],
[(1,7,N),(2,7,N),(3,7,E),(4,7,N),(5,7,N),(6,7,E)],
[(1,8,E),(2,8,N),(3,8,N),(4,8,N),(5,8,N),(6,8,N),(7,8,N)]]
: (int * int * EN) list list

Linearform des ersten Resultats
(N NN  NEN  NENE  NNENN  NNENE  ENNNNNN).

Standardform des zweiten Resultats
- tnf[3,0,1,0,0,1,1,2];
val it = [1,2,3,2,2,3,3,4] : int list

Die EN-Struktur des zweiten Resultats, [1,2,3,2,2,3,3,4], ist gegeben durch die ML-Funktion ENstructure

- ENstructure [1,2,3,2,2,3,3,4];
val it =
[[],
[(1,2,N)],
[(1,3,N),(2,3,N)],
[(1,4,N),(2,4,E),(3,4,N)],
[(1,5,N),(2,5,E),(3,5,N),(4,5,E)],
[(1,6,N),(2,6,N),(3,6,E),(4,6,N),(5,6,N)],
[(1,7,N),(2,7,N),(3,7,E),(4,7,N),(5,7,N),(6,7,E)],
[(1,8,N),(2,8,N),(3,8,N),(4,8,N),(5,8,N),(6,8,N),(7,8,N)]]
: (int * int * EN) list list

Zweites Resultat “links”:
ENstructure für [1,2,3,2,2,3,3,4] als Resultat “links” in Linearform:

(N, N,N, N,E,N, N,E,N,E, N,N,E,N,N  N,N,E,N,N,E  N,N,N,N,N,N,N).

Gesamtresultat der morphoTM für [0,1,0,0,1,1] (ohne explizite Nummerierung):
Erster iterative Durchgang:      
(N,  N,N  N,E,N  N,E,N,E,  N,N,E,N,N  N,N,E,N,N,E,  E22,N,N,N,N,N,N)
Zweiter akkretiver Durchgang:
(N,  N,N, N,E,N, N,E,N,E,  N,N,E,N,N  N,N,E,N,N,E,  N22,N,N,N,N,N,N).

Die zwei Durchläufe, der iterative und der akkretive, unterscheiden sich einzig, jedoch signifikant, im Wert für das 22. Subsystem, E22!=N22, alle anderen Differenzen sind gleich.

Nummerierung der Subsysteme
Die numerische Länge der beiden Resultate ist 8, ihre jeweilige Subsystemnummer wird errechnet durch die ML-Funktion subsystems (8):

- subsystems 8;
val it =
  [(1,[1,2]),(2,[2,3]),(3,[1,3]),(4,[3,4]),(5,[2,4]),(6,[1,4]),(7,[4,5]),
   (8,[3,5]),(9,[2,5]),(10,[1,5]),(11,[5,6]),(12,[4,6]),(13,[3,6]),(14,[2,6]),
   (15,[1,6]),(16,[6,7]),(17,[5,7]),(18,[4,7]),(19,[3,7]),(20,[2,7]),
   (21,[1,7]),(22,[7,8]),(23,[6,8]),(24,[5,8]),(25,[4,8]),(26,[3,8]),
   (27,[2,8]),(28,[1,8])] : (int * int list) list

ACHTUNG: Diese Nummerierung durch “subsystems (n)" entspricht nicht der morphoFSM-Konvention!!!

1.3.2.  The opposite operation: Simple Eraser

Simple Eraser.
"This Turing machine reads strings in the language given by the expression (0,1)* and replaces the right-most symbol by a blank (#)."

(Following Dr. Natalio Krasnogor, http://www.cs.nott.ac.uk/~nxk/TEACHING/G53COM/G53COMLecture5.pdf)

[Graphics:HTMLFiles/Unterschied_9.gif]

TM = ({q0,q1,q2,q3},{0,1},{0,1,#},δ,q0,{p}) where δ is given by:

[Graphics:HTMLFiles/Unterschied_10.gif]

Then, the above Turing machine processes the input string “1110” as follows:

#q01110# -> #1q1110# -> #11q110# -> #111q10# -> #1110q1# ->
#111q20# -> #11q31## -> #1q311## -> #q3111## -> q3#111## ->
p##111##

1.3.3.  Simple morpho-Eraser

This morpho-Turing machine reads morphograms in the language given by the expression
∑Sn(AG(MG) +1), and replaces the ‘right-most’ differentiation by a blank (-).

Because the ‘alphabet’ of this Simple morpho-Eraser depends on the applied morphograms only and not on a pre-given set of signs, say {0,1}, its definition works for all kinds of morphograms.

Examples [1,2,2,3], [3,4,4,5], [◆,O,O,▲], [μ, ψ,ψ,β], etc.

Diagram for morphoFSM[1,2,2,3]           Diagram for FSM(1,2,2,3)
[Graphics:HTMLFiles/Unterschied_11.gif] [Graphics:HTMLFiles/Unterschied_12.gif]

Again, this diagram depicts the differentiation structure of the morphogram [1,2,2,3] in respect of E- and N-differentiations representing its morphoFSM. The second diagram depicts the FSM for the numeric sequence (1,2,2,3). While the machine diagram for the Simple morpho-Eraser depicts the machine steps of left and right movements in respect to the EN-structure of the morphogram and its task to erase the last differentiation.

Erasing machine diagram

[Graphics:HTMLFiles/Unterschied_13.gif]

Morphic erasing procedure

morphoTM = ({pos1, ...,pos4}, {E, N, s(m)},{{AG(MG)+1},#}, δ, pos1,{p}) where δ is given by the transition table.

Transition table

typeset structure

Differentiation Table

typeset structure

Elimination procedure for v6 of morphogram [1,2,2,3]

typeset structure   =>   typeset structure

Then, the above morpho-Turing machine processes the input morphogram “[1,2,2,3]” towards an erasing of the ‘last’ differentiation of the morphogram with the resulting morphogram [1,2,2], and right as R=↑ and left as L=↓, as follows:

#↑[1,2,2,3]#           

# pos1typeset structure #      ->  

#[1,↑,2,2,3]#                     #[1,2,↑,2,3]#

# v1pos2 typeset structure #        ->     # typeset structure pos2 typeset structure  #   ->

#[1,2,2,↑,3]#                        #[1,2,2,3]↑#

# typeset structure pos2 typeset structure #    ->   # typeset structurepos2 #  ->

#[1,2,2,↓3]#                                   

# typeset structure pos3 typeset structure #     ->  

#[1,2,↓,2,-]##                      # [1,↓2,2,-] ##                     

# typeset structure pos4 typeset structure #   ->    # v1pos4 typeset structure #    ->   

# ↓[1,2,2,-]##                      ## [1,2,2,-] ##

  # pos4 typeset structure  #        ->      pos4 ##  typeset structure  ##    ->     

## [1,2,2] ##

[mg] ##  typeset structure ## .

1.4.  Spekulative Aspekte einer transTM

1.4.1.  Weitere Dekonstruktion von Grundbegriffen

Nachdem die vorläufigen ersten Dekonstruktionsschritte sich sklavisch ("sheepish") an die klassische Vorlage der Definition der Turing Maschine gehalten haben, ist es nun angebracht, einen subversiveren Entwurf zu wagen, der sich nicht mehr an einem Maschinenmodell, sondern eher an einem Modell lebender Materie orientiert.

Dabei entfallen die gängigen konstitutiven Dichotomien des Konzepts der Turing Machine. Die Dichotomien von Maschine (Apparat) und Programm, Programm und Alphabet, Lesekopf und Band, Alphabet und Skript, Befehl und Daten, sind restlos zu dekonstruieren und aufzulösen. Ebenso Konzepte wie analog versus digital, usw.

Lebewesen rechnen nicht. Diese These ist in Opposition zur Leibniz'schen Weltauffassung wie sie heute in den Kognitionswissenschaften und der Neurobiologie vorherrscht, und entspricht eher dem Pascal'schen Weltbild.

Dass heute Milliarden Dollars/Euro für die Leibniz'sche Version vom Staat via Steuerzahler bereitgestellt werden, beweist in keinster Weise seine Richtigkeit.

Auch wenn Gotthard Günther in seinem Moskauer Vortrag der Hegel-Gesellschaft 1970 schreibt, “Der Weltgeist rechnet”, hat er damit gewiss nicht an eine Turing Maschine gedacht.

Wenn in einem ersten Dekonstruktionsschritt in negativer, d.h. abgrenzender Absicht postuliert wurde, dass die neue Maschine weder rechnet, noch liest oder schreibt, usw. ist es nun an der Zeit, positiv, und soweit als möglich, konstruktiv anzugeben, was ihre Aktivitäten und Leistungen darstellen könnten.

Spekulativ lässt sich sagen, die Maschine liest nicht, sie sieht. Ein ‘Wort’ wird nicht mehr schrittweise gelesen, sondern in seiner historisch vermittelten Ganzheit augenblicklich wahrgenommen, d.h. gesehen. Dies ist für digitale Machinen sicherlich absurd, scheint jedoch für Analogmaschinen weniger fremd zu klingen.

Die Komplexität des Sehapparates steht in direkter Abhängigkeit von der Struktur des Gesehenen, und wandelt sich in seiner Aktivität je nach der Komplexität des zu Sehenden. Damit ist die klassische Dichotomie von Sehendem und Gesehenem, d.h. von Operator und Operand der Seh-Operation dynamisiert und aufgelöst.

Es ist bestimmt hilfreich, sich etwa auf den früheren Text zu den Morphosphere(s), Morphosphere(s): Asymmetric Palindromes as Keys, zu beziehen, um triviale Missverständnisse ausklammern zu helfen.

Zur vorgeschlagenen Maschinenkonzeption sei auf die Arbeit verwiesen:
http://memristors.memristics.com/MorphoFSM/Finite%20State%20Machines%20and%20Morphogrammatics.pdf

Eine Idee wie sich eine Nachfolgeroperation auf ein ganzheitlich thematisiertes Morphogramm auswirkt, ist in dem foldenden Diagramm angegeben.

Anstelle einer sequentiellen Interpretation mit Succ([abbc]) = {[abbca], [abbcb], [abbcc], [abbcd]}, wird im ‘holistischen’ Modell die Nachfolgeoperation auf jede einzelne Monomorphie des Morphogrammes angewandt.

typeset structure

http://memristors.memristics.com/Dominos/Domino%20Approach%20to%20Morphogrammatics.html

Die neue Maschine rechnet nicht, sondern transformiert die wahrgenommenen und erkannten Konstellationen von einer Konstellation in eine andere Konstellation gleicher oder verschiedener Kompliziertheit und Komplexität. Sie ist somit keine Rechenmaschine mehr, sondern eine Umformungsmaschine.

Es dürfte nicht schwer fallen, zu erkennen, dass eine Rechenmaschine im Sinne einer Turing-Maschine, ein Spezialfall einer Umformungsmachine, darstellt. Dies führt zu dem Satz: Eine Turing-Maschine is durch eine Umformungsmaschine darstellbar ist.

Die Modi der Umformung sind die bekannten Ver-Operationen, wie Verkehrung, Verdichtung, Verschiebung, Verformung (Kaehr, 1976). Die Wege solcher Umformungen sind nicht als sukzessive und linearisierte paths oder multi-paths, sondern als journeys zu verstehen, die eher der Strategien von Hamiltonkreisen folgen.

Weiteres zum Verhältnis von Semiotik und Kenogrammatik, siehe auch: R. Matzka, Klassische Kenogrammatik. Eine semiotische Ortsbestimmung (2012)
http://www.rudolf-matzka.de/dharma/kenogrammatik.pdf

Als leitende Metaphern, anstelle von Informationsverarbeitung und Programmierung, erweisen sich die Konzepte von Wartung und Perturbation (Maturana, Varela) eines Gebildes.

Morphogramme sind seit ihrer Einführung durch Günther (1962) immer als ganzheitliche Pattern bzw. Muster ("hologram”, 1965), d.h. als Ganzheiten verstanden worden. Das heisst nicht, dass sie auch immer dementsprechend thematisiert und formalisiert worden wären.

Die EN-Struktur eines Morphogrammes betont in einfacher und kalkulierbarer Weise die ganzheitliche Struktur eines Morphogrammes. Wobei allerdings die Aufmerksamkeit auf die Simultaneität der Differenzen gesetzt, und die Nummerierung der Positionen (Orte) der Differenzen als technisches Hilfsmittel verstanden werden muss.

Die Simultaneität ist auch Ausdruck der retro-grad rekursiven Erzeugung des Morphogrammes.
Die EN-Struktur und ihre Positionen schreiben die generischen Eigenschaften des Morphogrammes ein.

Damit ist auch klar, dass die positionierten EN-Ereignisse technisch nicht einfach durch eine mikro-elektronische Realisation wie “on-off” oder durch einen binär-dual gedeuteten Gencode gegeben sind, sondern wegen ihrer reflektionalen, d.h. rückwärts- wie vorwärts gerichteten und positionierten Orientierung durch nano-elektronische Eigenschaften charakterisiert werden müssen, die z.Z. wohl am besten mit Memristoren und memristiven System realisiert werden könnten.

Durch die Nummerierung der Differenzierungen wurde diese Ganzheitlichkeit der Morphogramme aus formalisierungs-technischen Gründen teilweise, wenn auch konventionell, wieder linearisiert.

Alle EN-Unterscheidungen, die ganzheitlich das Morphogramm bestimmen, werden in einem ‘Blick’ von der neuen Maschine ‘gesehen'.

Eine natürliche Konsequenz dieses ganzheitlichen Ansatzes, bei dem keine Position eine Auszeichnung erhält, ist es, dass eine solche Maschine weder durch die Kategorien eines Inputs noch eines Outputs als primäre Bestimmung charakterisiert werden kann.

Damit ist auch ein Kriterium angegeben, maschinentheoretisch den Anforderungen einer autonomen und autopoietischen Maschine (Maturana, Varela) zu entsprechen.

Analog heisst die Metapher des Sehens für die Maschine, dass sie im Gegensatz zu einer Turing-Maschine nicht nur einen Lese-Schreibkopf hat, sondern soviele simultan aktive Lese-Schreibköpfe wie es die EN-Struktur des Morphogrammes jeweils erfordert.

Nach dem Skizzierten ist einsichtig, dass es sich hier nicht um die Situation von Mehrkopf-, Mehrband-Maschinen handelt, die sich wie bekannt in ihrer Berechenbarkeit auf den klassischen Fall reduzieren lassen.

Auch die von Peter Wegner vorgeschlagenen Interaktionsmaschinen sind nicht in der Lage, ihre Fixierung auf das klassische Denkmodell aufzulösen.

Eine weitere Metapher könnte sein, dass an jeder Position eines kenogrammatischen Feldes ein Lese-Schreibkopf positioniert ist, der je nach Konstellation der Differenzen für E und N liest oder schreibt. Es liegt nun nicht fern, anzunehmen, dass alle Köpfe simultan ihre Konfiguration von EN-Differenzen lesen, da sie nicht linear, sondern tabulart angeordnet sind, und so zusammen die Gesamtkonstellation wahrnehmen, d.h. ‘sehen’ können.

Diese Art des Wahrnehmens und Sehens ist offensichtlich nicht mit einer Weise von Perzeption von Daten ud deren Komposition zu verwechseln.

Ohne auf eine Phänomenologie des Lesens, Schreibens und Sehens eingehen zu wollen, lässt es sich doch erwähnen, dass das Wahrnehmen als Sehen dem Lesen und Schreiben vorangeht.

Eine Simultaneität des ‘Wahrnehmens’ ist möglich, da ein Morphogramm nicht sequentiell, sondern differentiell. d.h. auch, tabular definiert ist.

Eine solche Sicht der Dinge schliesst nun eine konventionelle Nummerierung aus technischen Gründen durchaus nicht aus. Denn Ganzheitlichkeit und Nummerierung der Teile des Ganzen stehen nicht in einem ausschliesslichen Gegensatz.

Die Figur [aba] z.B. wird simultan von den Positionen pos1, pos2 und pos3 gelesen, und zwar als Folge von E/Ns, d.h. als [v1e2, v3], womit das Morphogramm [aba] als Ganzes erkannt wird.

Die früheren Entwürfe zu einer morphogrammatischen Turing-Maschine, wie sie oben skizziert wurden, sind daher in Hinsicht einer Metapher des Sehens (Wahrnehmens) statt des Lesens und Schreibens neu zu interpretieren.

Re-interpretation: (read1=v1, read2=e2, read3=v3) => see[v1,e2,v3].

Ganzheitliches Sehen ist der strategische Gegensatz zum sukzessiven Lesen und Schreiben.
Das sukzessive Lesen und Schreiben von Ganzheiten ist eine sekundäre Möglichkeit der Thematisierung von Ganzheiten.

Das Modell der Sukzession wurde vom Konnektionismus erweitert duch das Konzept der massiven Parallelität. Trotz der Vorteile der Parallelität, multipliziert diese auch die Nachteile des Sukzessionsmodells.

Ein Modell, das die Simultaneität der Realisation der verschiedenen Differenzierungen unterstützt, könnte durch die Tabularität einer kenomischen, bzw. eine kontexturalen Matrix versucht werden.

Ein Argument für die simultane Tabularität der Differenzen ist gegeben durch die Tatsache der verschiedenen Nummerierungmöglichkeiten, die sich aufgrund der Konventionalität der Nummerierung ergeben.

Diese Möglichkeit ist offensichtlich bei Zeichenreihen(gestalten) wie sie für die Turing-Maschine, äquivalent auch für LISP und jede andere auf Zeichen basierende Programmiersprache, vorausgesetzt wird, definitionsgemäss ausgeschlossen.

Zeichenreihen werden rekusiv sequentiell über einem vorgegebenen Alphabet schrittweise aufgebaut. Der Operator (oder Relator) dieses Aufbaues ist die Konkatenation (Verkettungsoperation), die Operanden sind die Zeichen(reihen) basierend auf dem Alphabet.

Damit ist die Linearität und Einzigkeit der Nummerierung vorgegeben. Auf ein Zeichen folgt schrittweise ein anderes Zeichen. Dies geschieht nach dem Modell eines Strichkalküls oder, spezieller, nach dem Modell der natürlichen Zahlen. (cf. SKIZZE-0.9.5)

Alle Differenzen einer morphogrammatischen Ganzheit gelten simultan.

Diese Einsicht unterstützt die biologische Metapher eines lebenden Systems.
Lebende Systeme sind konzeptionell schon sehr früh als Ganzheiten erkannt worden. Andererseits ist immer wieder die Erfahrung gemacht worden, dass sich Ganzheiten als solce einer Mathematisierung entziehen.

Historisch sind bei einer Interpretation und Abgrenzung dieses neuen Ansatzes an konzeptionelle Unterschiede von symbolischer Formalisierung, neuromorphen Netzen (Neurocomputing) und anderer Abweichungen, wie DNA-Computing, Quanten- und Fuzzy-Logiken zu erinnern.

Von spezieller Wichtigkeit für eine konzeptionelle Charakterisierung des non-computational Ansatzes ist auf das Actor Model von Carl Hewitt hinzuweisen.

Eine Addition ist dort eher als eine Interaktion zwischen Aktanten/Actors verstanden als eine formalistische Berechnung im Sinne rekursiver Funktionen.

Die Aktionen der Wartung und Perturbation eines lebenden Systems sind interaktiver Natur. Insofern lassen sich die klassischen berechenbaren Funktionen mithilfe von Interaktionen definieren.

http://what-is-computation.carlhewitt.info/
http://www.vordenker.de/blog/?p=643#more-643

Lebende Systeme rechnen nicht, sie leben. Leben ist jedoch nicht Rechnen.
Oder in Analogie zu Heidegger: Leben lebt.

Chiastische Metamorphose der Interaktion

Gewiss erreicht die bisher angedeutete Subversion nocht nicht ihre eigenen Grenzen. Die vorgeschlagenen Dekonstruktionen beziehen sich konsequenterweise erst einmal einzig auf die intra-kontexturalen Begriffsbildungen und formalen Konstruktionen (von Turing-Maschinen), und lassen ihre eigenen kontexturalen Rahmenbedingungen noch ausserhalb jeglicher Dekonstruktion.

Der definitorische Rahmen, d.h. die generelle Definition einer TM, als solcher ist dabei noch nicht tangiert. Die angedeutete “Wartung” (maintenance) bezieht sich darauf, diesen Rahmen gegenüber Perturbationen aufrechtzuerhalten. Woher die Perturbationen kommen, und wie weit diese von “ausserhalb” kommen können, und was ein solches “ausserhalb” bedeuten könnte, ist noch weitgehend offen.

Eine Dekonstruktion des Konzepts der "typeset structure” eröffnet den Zugang zum Verständniss der Entstehung der Zustände als Teil der History der Maschine. Zustände einer Turing-Maschine sind  im morphogrammatischen Kontext spezielle angehaltene Histories. Histories sind demnach das Resultat der Verarbeitung von Perturbationen im Prozess der Selbst-Wartung der morphogrammatischen Maschine.

Damit wird auch eine Ablösung von Ontologien durch ‘Ontogenesen’ (Fabian Kostadinov) für formale und Programmier-Sprachen wie auch für Automaten- und Maschinenkonzeptionen angedeutet. Wie schon des öfteren dargelegt, ein Kenogramm erscheint als die Einschreibung des Prozesses seiner Semiose/Kenose.

Was bei Maturana als Metapher der strukturellen Kopplung erscheint, ist hier als chiastische Interaktion zwischen diskontexturalen morphogrammatischen Maschinen aufzufassen. Deren Mechanismus wurde in früheren Arbeiten im Rahmen der Diamondtheorie skizziert.

1.4.2.  Formale Metapher einer nicht-rechnenden TM

Zweite Dekonstruktionstabelle

typeset structure

ENstructure automaton table of [abacdd]

                                      typeset structure

Diagram for [abacdd]

                      [Graphics:HTMLFiles/Unterschied_37.gif]

1.5.  Anmerkungen

1.5.1.  Wozu der Aufstand?

Die Frage, wozu ein solcher Aufwand betrieben werden soll, um an ein Morphogramm ein Kenogramm anzufügen oder wie im Fall des Simple morpho-Erasers, eine Differenz zu löschen, stellt sich zu Recht.

Ein Morphogramm repräsentiert in diesem vorläufigen Sinne eines neuen Datentyps allerdings eine abzählbar unendliche Menge von strukturgleichen Zeichenketten. Insofern soll auch die Isomorphie des morphogrammatischen “Zustandsgraphen”, Diagr-morphoTM, mit dem klassischen TM-Zustandsgraphen, Diagr-TM, des Beispiels, nicht irritieren.

Der letztere ist über einem Alphabet definiert, der morphogrammatische über Differenzen.

Zur Erinnerung und als Kriterium zur Bestimmung einer Turing-Maschine:

That’s it
"A Turing machine is a mathematical construct. It models a machine that can be built in reality.

"The machine has a tape head that can read and/or write a symbol on a tape. It can also shift the tape one position to the left and to the right.

"At any time, the machine is in some internal state.

"The machine's operation is defined by a finite set of transitions.
A transition is specified by four items: a state, a symbol, another state, and an action.
The transition is applicable whenever the machine is in the first state, and the head is on the specified symbol.

"It is applied by moving into the second state and performing the action. The action specifies either a move to the left, or a move to the right, or a symbol (to be written on the tape, overwriting whatever symbol was there)."

"That's it. Anything that behaves according to these specifications is a Turing machine. The transitions completely define the machine's operation.” (Lucy-S)

http://everything2.com/title/Turing+Machine

Die Frage, definieren die beiden oben genannten Diagramme, Diagr-TM und das Diagr-morphoTM, dieselbe Maschine, lässt sich nun durch den “That's it"-Katalog entscheiden und so eine mögliche Irritation verhindern. Hence, check it!

Als eine erste Antwort auf die Frage nach dem Unterschied zwischen einer TM und einer morphoTM, erhalten wir somit: Die morphoTM berechnet, wenn sie semiotisch-symbolisch interpretiert wird, nicht eine, sondern beliebig viele gleichgestaltete semiotische Figuren in einem einzigen Durchgang.

Es wird also nicht bloss das vorgegebene symbolische Beispiel (0,1,0,0,1,1) mit “a” ergänzt, sondern es wird die Struktur [x,y,x,x,y,y] mit x,y∈ ∑ = {Menge von Notationen aller Art} mit new erweitert.

"Wozu das Ganze” kriegt damit zumindest die Qualität einer enormen Komplexitätsreduktion.

Konkreter: Es geht um den Übergang von der Potenzfunktion für Zeichenketten mn zur Summe der Stirling Zahlen 2. Art für Morphogramme, d.h den Bell-Zahlen: ∑Sn(n,k).

Die Abstraktion, z.B. von 1111= 285'311'670'611 nach B11 = 678'570 liefert eine Komplexitätsreduktion um den Faktor 420'460.1892... (Wolfram|Alpha)

Eine naheligende Konsequenz einer differenztheoretischen Definition einer morphoTM ist ihre Alphabet-Unabhängigkeit. Diese hat zur Folge, dass eine Situation wie die Aktion einer Nicht-Anerkennung eines Wortes durch die Maschine wegen eines nicht zu ihrer Definition passenden Zeichensatzes nicht existiert.

Die Alphabet-Abhängigkeit einer Turing-Maschine (wie jeder formalen Sprache auch) scheint trivial zu sein. Für eine Theorie der Berechenbarkeit gibt es jedoch keine Trivialitäten, die unreflektiert akzeptiert werden müssen. Jeder Bestimmungspunkt eines Kalküls muss expliziert, und was nicht expliziert werden kann, wie die Identität der vorausgesetzten Zeichen, muss postuliert werden.

So ist es nicht redundant, wenn Hans Hemes bei der Charakterisierung der Elementarmaschinen für rechts-, links- und stopp-Aktionen schreibt:

"Vorausgesetzt wird ein festes Alphabet {α1,..., αN}. Die betrachteten Maschinen hängen von diesem Alphabet ab.” (Hermes, S. 41)

Wichtig ist auch die Charakterisierung des Alphabets als ein  “festes”. D.h., das Alphabet verändert sich nicht im Verlauf einer Berechnung (Goguen, Gurewich, Kaehr).

Die Feststellung, dass Morphogramme kein Alphabet voraussetzen, heisst in einer komplementären Formulierung, dass Morhogramme ihre je eigenen Alphabete im Prozess der Operationen selbst definieren, und sich daher über einem lokal-dynamischen Alphabet einschreiben.

Eine solche Bestimmung eines Alphabetes widerspricht jedoch vollständig der Definition eines Alphabetes im Sinne formaler Sprachen, Logik und Turing-Maschinen.

Siehe auch: R. Kaehr, Anfangen, in: Marc Jongen (Hrsg.) Was wird Denken heißen? Kognition und Psyche im posthumanen Zeitalter, Wilhelm Fink Verlag, 2013

Jede differenzierbare Struktur wird von einer morphoTM akzeptiert.

Morphogrammatische Maschinen, die auf diesem Prinzip der morphogrammatischen Differenzierbarkeit beruhen, sind im Sprachrahmen der “konkatenativen” Kenogrammatik formalisiert. Die Modi der Überlagerung wie Verschmelzung und Verknüpfung (im Gegensatz zu Verkettung=Konkatenation), die bei einer weiteren Dekonstruktion anzugehen sind, werden hier noch nicht in Betracht gezogen.

Damit wird vorerst auch jegliche Form von Metamorphose als Modus einer neuen “Berechenbarkeit” im Sinne lebender Systeme ausgeklammert.

Von einem epistemologischen Standpunkt muss auch gesehen werden, dass die Definitionen einer TM zwar sehr einfach aussehen, ihre Einfachheit jedoch der etablierten Intuition eines Mathematikers bedarf, und als solche selbst, weder begrifflich noch mathematisch, in der Definition der TM expliziert und reflektiert sind.

1.5.2.  Iterative und akkretive Mehrdeutigkeit

Das doppelte Resultat der Berechnung mag etwas überraschen, da es von der vor-gegebenen Aufgabestellung, zumindest in einem Teilresultat, [1,2,3,2,2,3,3,4], abweicht.

Vom Standpunkt der Morphogrammatik ist dieses abweichende Resultat zwingend. Denn die Operation new hat keinen vor-gegebenen Bereich, sondern hat ihren Wirkungsbereich situativ aus dem manipulierten Morphogramm zu errechnen. Die Errechnung erfolgt mit der Aggregations-Funktion AG.

Die Anwendung der TM in eine Richtung, hier R, liefert ein Resultat, das das Wort, Morphogramm, gemäss Jobdefinition verändert. Auf dem Weg (zurück) in Richtung L, muss dieses Resultat jedoch in Rechnung gestellt werden. Damit ändern sich die kontextuellen Angaben für die Übergangsfunktion (Umformungsfunkion).

Der klassische Fall ist neutral zu einer solchen kontextbezogenen Veränderung. Was auch immer das Resultat des ersten Durchganges ist, definiert dieser nicht die möglichen Resultate des zweiten Druchganges. Die Aufgabe ist, unabhängig vom ersten Resultat, das Element “a” and das vorgegebene Wort anzufügen.

Trivialerweise lässt sich diese kontextuelle Mehrdeutigkeit per Dekret verhindern. Womit nur das erste oder zweite Resultat des zweiten Durchganges, d.h. die iterative oder die akkretive Übergangsfunktion, akzeptiert wird, und das Resultat [1,2,3,2,2,3,3,1] oder [1,2,3,2,2,3,3,4] liefert.

Vorausgesetzt, man weiss das Resultat der ersten Berechnung im Voraus, lässt sich adhoc die Aufgabe für den Weg zurück als iterative vorgeben.

Es liesse sich auch monieren, dass das neu angehängte Elemtent “a”, hier als die “1” erscheint. Diese ist nun gewiss kein neues Element bezüglich des Ausgangswortes, bzw. des Anfang-Morphogrammes.

Dieses Argument ist gewiss richtig, wenn wir im Rahmen der klassischen Turingdefinitionen, mit ihren Identitätsvoraussetzungen operieren, und nicht im Rahmen der Morphogrammatik, wo die Identität eines einzelnen Zeichens bzw. eines Kenogrammes prinzipiell keine Rolle spielt.

D.h., das angefügte new als Kenogramm kann sehr wohl die Gestalt der vorhergehenden “1” annehmen.

Worauf es in de Morphogrammatik einzig und allein ankommt, sind die Differenzen und deren Verortung (Position), kurz: (e, v, pos), und nicht die atomaren Vorkommnisse von Zeichen der Semiotik eines Zeichenvokabulars einer Turing-Maschine.

Insofern ist auch die Sprechweise der Hinzufügung eines Kenogrammes irreführend.

Der Term new entspricht dem Zeichen “a” des TM-Beispiels, entstammt jedoch nicht aus einem vorgegebenen Alphabet, sondern wird in Abhängigkeit der Struktur des vorgefundenen Wortes, d.h. Morphogrammes, auf dem TM-Band berechnet.

AG ist der Aggregationsgrad eines Morphogrammes, also die Anzahl der verschiedenen Kenogramme des Morphogrammes, wobei für die Akkretion eine Einheit dazu addiert wird.

AG ([1,0,1,1,0]) = {0,1}
AGaccr(MG) = AG(MG) + 1.

1.5.3.  Weiterer Vergleich von FSA und morphoFSM

Die Abarbeitung eines Wortes geschieht beim Finte State Automaton, FSA, direkt linear sukzessiv nach Vorgabe der Struktur des Wortes. Abgearbeitet werden sukzessive die einzelnen linear geordneten Elemente eines Wortes.

Die Abarbeitung eines Morphogrammes geschieht bei dem morphogrammatischen Finite State Automaton, morphoFSA, nach Massgabe der Nummerierung der Subsysteme des als Anfangszustand gegebenen Morphogrammes. Diese Nummerierung ist konventionell, und kann auch anders definiert werden. Abgearbeitet werden durch die morphoFSA sukzessive die einzelnen E/N-Differenzen des Morphogrammes.

Der Datentyp der FSA sind lineare Zeichenreihen, gebildet über einem festen Alphabet. Damit ist dieser Datentyp definiert durch die Zeichen seines Alphabets und der Position der Zeichen in der linearen Zeichenreihe, also (Alph, Zi, i∈length(ZR)).

Der Pseudo-Datentyp der morphoFSA repräsentiert Strukturen von verteilten und verorteten E/N-Differenzen in einem System von Positionen, (pos, {e,v}i, i∈s(m)). Kenogramme als Teile von Morphogrammen sind somit generiert durch die Interaktionen der Differenzen an den durch die Interaktionen erschlossenen Orten (Positionen).

So wird die semiotische Zeichenreihe (aabc) durch FSA(aabc) erkannt. Entsprechend wird das Morphogramm [aabc] von dem morphogrammatischen FSA, morphoFSA[aabc], 'erkannt’. Die Erkennung des Morphogrammes [aabc] durch den Automaten morphoFSA[aabc] unterscheidet sich offensichtlich von dem semiotischen Automaten FSA. Der Automat FSA(aabc) für (aabc) akzeptiert die Zeichenreihe (aabc) als vorgegebene, während der morphogrammatische Automat morphoFSA[aabc] das Morphogramm [aabc] durch den Prozess des differentiellen Erkennens eher interaktiv erzeugt denn als vorgegebene Reihe wieder-erkennt. M.a.W., das Morphogramm [aabc] steht für jede mögliche struktur-gleiche Zeichenkette.

FSA(aabc)                                        morphoFSA[aabc]
     [Graphics:HTMLFiles/Unterschied_38.gif]

  typeset structure   typeset structure

1.5.4.  Palindrome da und dort

Ein weiterer interessanter Vergleich zwischen TMs und morphoTMs lässt sich mit Hilfe von Palindromen herstellen.

Palindrome sind in diesem Falle Wörter, deren Leseresultat unabhängig von der Leserichtung ist. Beispiele sind etwa  “Anna” und  “elle”. “Anna” wie “elle” sind sich selbst vorwärts wie rückwärts gelesen identisch. Dabei wird von der Gross- und Kleinschreibung abstrahiert. Ein einzelnes Zeichen ist in sich selbst palindromisch, also etwa “b".

Derselbe Gleichheitsspruch für Palindrome gilt auch für Morphogramme. Sie sind palindromisch, wenn ihre Lesungen richtungsneutral sind. Dabei wird eine durch Konvention bestimmte Nummerierung der Differenzen miteinbezogen. Und vorausgesetzt, dass diese Nummerierung für beide Leserichtungen gilt. Als Leserichtung gilt hier die Vorwärts- und Rückwärts-Gerichtetheit.

Witzig ist nun, dass ein Wort wie “Annabelle”, das zusamengesetzt ist aus den drei Palindromen, “Anna”, “b” und “elle”, gewiss kein klassisches Palindrom darstellt, morphogrammatisch jedoch leserichtungs-unabhängig ist, und daher nach Definition, zur Klasse der Palindrome gehört.

Linguistic interpretations of asymmetric palindromes
Why looking for such sophisticated palindromes like “Oh Cello voll Echo” (Pfeiffer) if we have such an intriguing example like the asymmetric palindrome “Annabelle"?

Annabelle gets a palindromic interpretation by the asymmetric morphogram [1,2,2,1,3,4,5,5,4]:

"anna" : num(anna) = [1,7,7,1]
” b”                         = [2]
"elle”   :   num(elle) = [4,5,5,4]
num(annabelle)       = [1,7,7,1,2,4,5,5,4]

- tnf[1,7,7,1,2,4,5,5,4];
val it = [1,2,2,1,3,4,5,5,4] : int list

ispalindrome[1,2,2,1,3,4,5,5,4]?
val it = true : bool
- kref[4,5,5,4,3,1,2,2,1];
val it = [1,2,2,1,3,4,5,5,4] : int list

ENstructure of “Annabelle”: [1,2,2,1,3,4,5,5,4]
Again, morphograms are not defined over an alphabet but by differentiations. The ENstructure is calculating the differentiations, N, E, of a morphogram at the subsystem place (i, j).

- ENstructure [1,2,2,1,3,4,5,5,4] = ENstructure [4,5,5,4,3,1,2,2,1]:

DiagrMorphoFSM [1,2,2,1,3,4,5,5,4]:
ENstructure [1,2,2,1,3,4,5,5,4] ∪ subsystems 9 ∪ positions{1,2,3,4,5}
(int * int * EN) list list ∪ (int * int list) list ∪ int

Mapping
Diagr: (ENstructure, subsystems, positions) --> DiagrMorphoFSM

ENtable: ENtable --> subsystems
[[],  
   [1,(1,2,N))],
   [3,(1,3,N), 2,(2,3,E))],
   [6,(1,4,E), 5,(2,4,N), 4,(3,4,N)],  : pos{1,2}
   [10,(1,5,N),9,(2,5,N),8,(3,5,N),7,(4,5,N)],  : pos{1,2,3}
   [15,(1,6,N),14,(2,6,N),13,(3,6,N),12,(4,6,N),11,(5,6,N)],  : pos{1,2,3,4}
   [21,(1,7,N),20,(2,7,N),19,(3,7,N),18,(4,7,N),17,(5,7,N),16,(6,7,N)],  : pos{1,2,3,4,5}
   [28,(1,8,N),27,(2,8,N), 26,(3,8,N),25,(4,8,N),24,(5,8,N),23,(6,8,N),22,(7,8,E)],  : {1,2,3,4,5}
   [38,(1,9,N),37(2,9,N),36(3,9,N),35,(4,9,N),34,(5,9,N),31,(6,9,E),30,(7,9,N),29,(8,9,N)]] : pos{1,2,3,4,5}
   : (int * int * int list * EN) list list list

DiagrTable: (EN, subsystems) --> (pos,pos).

                                    typeset structure

That is, the trito-normal form tnf of the numeric interpretations of the words “anna” and “elle”, num(anna) = [1,7,7,1] and num(elle) = [4,5,5,4] are equivalent: tnf[1,7,7,1] = [1,2,2,1] = tnf[4,5,5,4]. But localized in the context of the whole morphogram, hence contextualized, they are different.

1.5.5.  How to decide palindromicity with TMs and morphoTMs?

General procedure for TM
"We remember the first letter, delete, move to the last letter, and either delete it if it matches or return false if it doesn't.
We repeat this process on the undeleted part of the string and return true iff the string becomes empty by deleting its last letter."

Example(10101)
10101 --> x010x --> xx1xx --> xxxx.

Procedure
With 10101 = 1102130415: 11=15 --> 02=04 --> 13=13.

Explicit TM processing:

[Graphics:HTMLFiles/Unterschied_42.gif]

http://www.cs.nott.ac.uk/~nxk/TEACHING/G53COM/G53COMLecture6.pdf

More at:
Problem Solving, Ding-Zhu Du, Ker-IKo, 2001, p.166/67

General procedure for morphoTM
Paraphrase
We remember (mark it) the first difference (of the original ENstructure), ‘delete’ (mark it), move to the last difference (of the second inverse ENstructure), and either ‘delete’ it (mark it) if it matches or return false if it doesn't.
We repeat this process on the ‘undeleted’ (unmarked) part of the EN-Structures and return true iff the morphogram becomes ‘empty’ by virtually ‘deleting’ its last difference.

This approach is a paraphrase of the classical TM approach, and is not yet taking the intrinsic ‘memorization’ property of the retro-grade recursive structure of morphograms and therefore, morphic palindromes, into account.

The idea is that the build-up of the morphic palindrome entails the information of its ‘history’ and a test of its palindromicity can thus be based on it, and has not specially be saved in an ‘external’ memory.

In other words:
The procedures for the decision of the palindromicity of asymmetric palindromes are defined by the involvement of a duplication, i.e. the original morphogram and the reversed morphogram have to be considered. The comparison proceeds then between the morphogram (palindrome) and its reversion.

This duplication is technically reasonable to support the procedure of reading and canceling the differentiations in the forward and backward orientation of palindromes. It makes more explicit what happens without duplication.

The comparison between the first and the last, etc. differentiation involves both morphograms. Therefore the first differentiation of the original morphogram and the last differentiation of the inverted morphogram are compared.

Asymmetric palindromes might be easier modeled and computed by a 2- or 3-tape TM. One tape for the forward, one tape for the backward reading, and one tape more for the comparison of the results of both tapes.

For the case of symmetric palindromes, this distinction collapses with the original morphogram, were the first differentiation and the last differentiation, etc., of the same morphogram, are compared. This corresponds to the classical symmetric case, and is directly modeled and computed by a 1-tape TM.

Palindromes and complexity

”What we do gain by using more complicated machines is speed and efficiency.
For instance, Barzdin (1965) has proved that no machine with one head can tell whether or not a word is symmetric, that is a palindrome, in less than a time that increases proportionally with the square of the length of the word; whereas it is easy to see if it has two heads, we may move the heads to the opposite end of the tape and have them move in to the middle, reporting back to the control, so that when they meet, in a time that only goes up with the length of the tape, thay will have been able to tell whether or not the string is a palindrome.” (Michael A. Arbib, Brains, Machines and Mathematics, 1987, p.132)

Example: asymmetric even palindrome [1,2,2,3]

- ispalindrome[1,2,2,3];
val it = true : bool

- ENstructure[1,2,2,3];
val it = [[],[(1,2,N)],[(1,3,N),(2,3,E)],[(1,4,N),(2,4,N),(3,4,N)]]

ENstructure[3,2,2,1];
val it = [[],[(1,2,N)],[(1,3,N),(2,3,E)],[(1,4,N),(2,4,N),(3,4,N)]].

Hence, palindromicity of asymmetric palindromes involves the equality of the palindrome and its reversion:
ENstructure[1,2,2,3] = ENstructure[3,2,2,1].

This is trivial, only for symmetric palindromes.

Palindromicity for [1,2,2,3]

forwards:             backwards:
(N,N,E,N,N,N)1 = (N,N,E,N,N,N)2
Compare the EN-structure:  n1-n6,   n2-n5,   e3-e4,   n4-n3,    n5-n2,    n6-n1  
of the Subsystems values:   1,2-3,2, 1,2-3,2,  2,2-2,2,  1,3-3,1,  2,3-2,1,  2,3-2,1.
Result
N1= N6 --> N2= N5 --> Etypeset structureE4 --> N4= N3--> typeset structure=Ntypeset structure --> typeset structure=N1.
Hence, [1,2,2,3] is a palindrome.

Elimination procedure

The elimination of the ‘last’ kenogram of a morphogram is legitim, and is not in conflict with its contextual definition. In fact, the legitimation takes not a kenogram but the ‘last’ differentiation that is defined by this kenogram.

Elimination procedure from v6to v1:

typeset structure  =>  typeset structure  =>  typeset structure      

Elimination procedure from v1to v6:

typeset structure  =>  typeset structure  =>  typeset structure      

Both elinination procedure together:

N1=N6, thus cancel N6,
N2=N5, thus cancel N5,
E3=E4, thus cancel typeset structure,
N4=N3, thus cancel N3,
N5=N2, thus cancel N2,
Ntypeset structure=N1, thus cancel N1.

Hence, [1,2,2,3] is a palindrome.

Comparison

Compare the first differentiation with last differentiation,
second-first differentiation with second-last differentiation,
etc.
of the ENstructures of the morphogram and the ENstructure of its inversion,
if equal, then mark it as true (ispalindrome), else as false.

Diagram for morphoFSM[1,2,2,3]
[Graphics:HTMLFiles/Unterschied_55.gif]

Transformation of the TM example (0110):

- tnf[0,1,1,0];
val it = [1,2,2,1] : int list
- ENstructure[1,2,2,1];
val it = [[],[(1,2,N)],[(1,3,N),(2,3,E)],[(1,4,E),(2,4,N),(3,4,N)]]
  : (int * int * EN) list list

Diagram of MorphoFSM[1,2,2,1]
[Graphics:HTMLFiles/Unterschied_56.gif]

typeset structure

Diagram of morphoTM[1,2,2,1]

[Graphics:HTMLFiles/Unterschied_58.gif]

Short version of transition rules for morphoTM[1,2,2,1]

typeset structure

Explicit transition rules for morphoTM[1,2,2,1]

typeset structure

Morphogram[1,2,1,2,1] (symmetric, odd)

- tnf[1,0,1,0,1];
val it = [1,2,1,2,1] : int list

- ENstructure[1,2,1,2,1];
val it =
   [[],[(1,2,N)],[(1,3,E),(2,3,N)],[(1,4,N),(2,4,E),(3,4,N)],
   [(1,5,E),(2,5,N),(3,5,E),(4,5,N)]] : (int * int * EN) list list

Compare the EN-structures:  [1,2,1,2,1]
forwards:                          backwards:
(N,E,N,N,E,N,E,N,E,N)1 = (N,E,N,N,E,N,E,N,E,N)2
    n1-n10,   e2-e9,   typeset structure-n8,    n4-n7,    e5-e6,  n6-n5,   e7-e4,  n8-n3,      e9-e2,   n10-n1   
    1,2-1,2,  1,1-1,1,  2,1-2,1,  1,2-3,1,   2,2-2,1, 1,2-2,1  1,1-2,2,   2,1-2,1,  1,1 -1,1,   2,1-2,1
'values’ of the Subsystems.

Result
N1= N10 --> E2= E9 --> Ntypeset structureN8 --> N4= N7--> typeset structure=E6-->
typeset structure=N5 --> typeset structure=E4--> typeset structure=N3 --> typeset structure=E2 --> typeset structure=N1.
Hence, [1,2,1,2,1] is a palindrome.

Morphogram [1,2,1], symmetric, odd

- ENstructure[1,2,1];
val it = [[],[(1,2,N)],[(1,3,E),(2,3,N)]] : (int * int * EN) list list

(N,E,N):
     n1-n3,    e2-e2,   typeset structure-n1
    1,2-1,2,  1,1-1,1,  2,1-2,1.
Result
N1= N3 --> E2=E2 --> Ntypeset structureN1.
Hence, [1,2,1] is a palindrome.

Symmetric Palindrome

The procedures for the decision of the palindromicity of symmetric palindromes are defined in strict analogy to the procedures for the classical symbolic palindromes.

Example: symmetric palindrome [1,2,2,1]

- ispalindrome [1,2,2,1];
val it = true : bool

- ENstructure[1,2,2,1];
val it = [[],[(1,2,N)],[(1,3,N),(2,3,E)],[(1,4,E),(2,4,N),(3,4,N)]]

(N,N,E,E,N,N):
n1-n6 --> n2-n5 --> e3-e4 --> e4-e3 --> typeset structure-ntypeset structure --> n6-n1.  
Hence, [1,2,2,1] is a palindrome.

Counter example

- ispalindrome[1,2,3,3];
val it = false : bool

- ENstructure [1,2,3,3];
val it = [[],[(1,2,N)],[(1,3,N),(2,3,N)],[(1,4,N),(2,4,N),(3,4,E)]]

- ENstructure[3,3,2,1];
val it = [[],[(1,2,E)],[(1,3,N),(2,3,N)],[(1,4,N),(2,4,N),(3,4,N)]]

Comparison: (N,N,N,N,N,E) != (E,N,N,N.N,N).

The relation is a reversion but not a palindrome.

1.5.6.  Gödel’s Palindroms

Gödel’s Games within Palindromes
Morphic Palindromicity as a Measure for Self-Reference
http://memristors.memristics.com/Godels%20Palindromes/Godels%20Palindromes.html

Kodierung von Turingmaschinen
"Werden Turingmaschinen zu Codewörtern kodiert, so kann ein solches Codewort als Eingabe für eine Turingmaschine benutzt werden, wodurch es möglich wird, mit dem allgemeinen Kalkül der Turingmaschine eine Aussage zu treffen über eine konkrete Turingmaschine, denn jede beliebig abstrakte Turingmaschine kann verwendet werden, um auf das Codewort einer konkreten Turingmaschine angesetzt zu werden.” (V. Wolowski)
http://vincent-wolowski.net/content/computer_science/entscheidbarkeitstheorie.pdf

Selbst-Anwendung
Selbst-Anwendung als die Anwendung der Anwendung (H. von Foerster). D.h., die Anwendung der Anwendung auf sich selbst.

Oder als Formel: Die Anwendung, angewandt auf die Anwendung.

Damit ist der ganze Zirkus der Problematik der Iterabilität, Wiederholbarkeit und Zitierbarkeit, jedoch auch der Palindromie und der Zirkularität, aufgefahren.

"Um zu zeigen, daß eine Sprache nicht entscheidbar ist, d.h. daß es eine „Nicht-Terminierung“ gibt, wird eine Turingmaschine auf sich selbst angewandt, man benutzt also eine reflexiv operierende Turingmaschine.” (ibd., p. 4)

Für die Selbst-Anwendung X ⌈X⌉, gilt gewiss, dass X und das zitierte X semiotisch identisch sind. Also: X =semiot ⌈X⌉.

X:        Codewort als Eingabe für eine Turingmaschine
X ⌈X⌉ : jede beliebig abstrakte Turingmaschine kann verwendet werden,
          um auf das Codewort einer konkreten Turingmaschine angesetzt zu werden.

Die Logik, die angewandt wird, benutzt die Spezifikation, und erlaubt zu erklären: Was für alle gilt, gilt auch für ein Spezielles. Auch wenn dieses Spezielle ein Allgemeines ist. Dass sich damit Widersprüche erzeugen lassen, sollte selbstverständlich sein.
Und die Verplüffung, die dabei allerortens erfahren wird, sollte nicht vergessen, dass der Trick, den Bertrand Russell, um Georg Cantor zu irritieren, letztendlich nichts weiteres war als ein raffinierter Witz, den andere auch schon kannten, sich jedoch nicht entblöden wollten, daraus Publizität zu machen.

The episode was devasting to Frege and Cantor. The story catapulted Russell to the top of intellectual community, and everyone had great fun formulating new versions of the liar's paradox.
http://descmath.com/diag/russell.html

Modi der Wiederholbarkeit
Die Differenzen in der Wiederholung lassen sich durch den palindromischen Ansatz der Morphogrammatik weiter spezifizieren. Gotthard Günther hat morphogrammatische Wiederholung vorwiegend durch die Unterscheidung von Iteration und Akkretion charakterisiert.

Auf der Ebene der der Morphogrammatik lassen sich jedoch weitere Modi der Widerholbarkeit unterscheiden, speziell wenn diese mit dem Verhalten morphogrammatischer Palindrome in Verbindung gebracht werden.

Wiederholung als Repetition, d.h. Wiederholung desselben (Iteration),
Wiederholung als Umkehrung, d.h. als Reversion und
Wiederholung als Umformung, d.h. als Akkretion.

Die Modi der Iteration und Reversion lassen sich kombinieren mit dem Modus der Akkretion. Es gilt also auch die akkretive Iteration und die akkretive Reversion.

Morphogrammatische Repetition, kombiniert mit Akkretion, ist somit nicht beschränkt auf den Modus der persevativen Repetition (“persevative repetitions”, Christian Schrei, 2005).
http://www.nook.at/minimal/en/repetition/

Als Beispiel sei die Palindromizität des Morphogrammes MG = [1,2,2,3] betrachtet.

Modi for head=[1,2,2,3]
repetition: [1,2,2,3,1,2,2,3],
reversion:   [1,2,2,3,3,2,2,1],
accretion:   [1,2,2,3,2,3,3,1], [1,2,2,3,3,1,1,2],
                   [1,2,2,3,1,4,4,3],[1,2,2,3,3,4,4,1],[1,2,2,3,4,1,1,2],[1,2,2,3,4,2,2,1],[1,2,2,3,2,3,3,4], [1,2,2,3,3,2,2,4]
                   [1,2,2,3,4,5,5,1] ,[1,2,2,3,4,2,2,5],[1,2,2,3,3,4,4,5],
                   [1,2,2,3,4,5,5,6],

typeset structure

Tcontexture 8

- Tcard 8;      
val it = 4140 : int

Palindromes (8)
val it =
  [[1,1,1,1,1,1,1,1],[1,1,1,1,2,2,2,2],[1,1,1,2,1,2,2,2],[1,1,2,1,2,1,2,2],
   [1,1,2,2,1,1,2,2],[1,1,2,2,2,2,1,1],[1,2,1,1,2,2,1,2],[1,2,1,2,1,2,1,2],
   [1,2,1,2,2,1,2,1],[1,2,2,1,1,2,2,1],[1,2,2,1,2,1,1,2],[1,2,2,2,1,1,1,2],
   [1,1,1,2,2,1,1,1],[1,1,2,1,1,2,1,1],[1,2,1,1,1,1,2,1],[1,2,2,2,2,2,2,1],
   [1,1,1,2,2,3,3,3],[1,1,2,3,3,1,2,2],[1,1,2,1,3,2,3,3],[1,1,2,3,1,2,3,3],
   [1,2,1,3,3,2,1,2],[1,2,2,3,3,1,1,2],[1,2,3,1,2,3,1,2],[1,2,3,2,1,3,1,2],
   [1,2,1,1,3,3,2,3],[1,2,1,3,1,3,2,3],[1,2,3,1,3,1,2,3],[1,2,3,3,1,1,2,3],
   [1,2,2,2,3,3,3,1],[1,2,2,3,2,3,3,1],[1,2,3,2,3,2,3,1],[1,2,3,3,2,2,3,1],
   [1,1,2,2,3,3,1,1],[1,1,2,3,2,3,1,1],[1,1,2,3,3,2,1,1],[1,2,1,2,3,1,3,1],
   [1,2,1,3,2,1,3,1],[1,2,1,3,3,1,2,1],[1,2,2,1,1,3,3,1],[1,2,3,1,1,2,3,1],
   [1,2,3,1,1,3,2,1],[1,2,2,1,3,2,2,3],[1,2,2,3,1,2,2,3],[1,2,2,3,3,2,2,1],
   [1,2,1,2,2,3,2,3],[1,2,3,2,2,1,2,3],[1,2,3,2,2,3,2,1],[1,1,2,2,2,2,3,3],
   [1,2,3,3,3,3,1,2],[1,2,3,3,3,3,2,1],[1,1,1,2,3,1,1,1],[1,1,2,1,1,3,1,1],
   [1,2,1,1,1,1,3,1],[1,2,2,2,2,2,2,3],[1,1,2,2,3,3,4,4],[1,1,2,3,2,3,4,4],
   [1,1,2,3,3,2,4,4],[1,2,1,2,3,4,3,4],[1,2,1,3,2,4,3,4],[1,2,1,3,3,4,2,4],
   [1,2,2,1,3,4,4,3],[1,2,2,3,1,4,4,3],[1,2,2,3,3,4,4,1],[1,2,3,1,4,2,3,4],
   [1,2,3,1,4,3,2,4],[1,2,3,2,4,1,4,3],[1,2,3,2,4,3,4,1],[1,2,3,3,4,4,1,2],
   [1,2,3,3,4,4,2,1],[1,2,3,4,1,2,3,4],[1,2,3,4,1,3,2,4],[1,2,3,4,2,1,4,3],
   [1,2,3,4,2,3,4,1],[1,2,3,4,3,4,1,2],[1,2,3,4,3,4,2,1],[1,2,3,4,4,1,2,3],
   [1,2,3,4,4,2,3,1],[1,2,3,4,4,3,1,2],[1,2,3,4,4,3,2,1],[1,1,1,2,3,4,4,4],
   [1,1,2,3,4,1,2,2],[1,1,2,1,3,4,3,3],[1,1,2,3,1,4,3,3],[1,2,1,3,4,2,1,2],
   [1,2,2,3,4,1,1,2],[1,2,3,1,2,4,1,2],[1,2,3,2,1,4,1,2],[1,2,1,1,3,3,4,3],
   [1,2,1,3,1,3,4,3],[1,2,3,1,3,1,4,3],[1,2,3,3,1,1,4,3],[1,2,2,2,3,3,3,4],
   [1,2,2,3,2,3,3,4],[1,2,3,2,3,2,3,4],[1,2,3,3,2,2,3,4],[1,1,2,3,4,2,1,1],
   [1,1,2,3,3,4,1,1],[1,2,1,3,4,1,2,1],[1,2,3,1,1,4,2,1],[1,2,1,3,3,1,4,1],
   [1,2,3,1,1,3,4,1],[1,2,2,3,4,2,2,1],[1,2,3,2,2,4,2,1],[1,2,3,3,3,3,4,1],
   [1,2,2,3,3,2,2,4],[1,2,3,2,2,3,2,4],[1,2,3,3,3,3,2,4],[1,1,2,3,4,2,5,5],
   [1,1,2,3,3,4,5,5],[1,2,1,3,4,5,2,5],[1,2,2,3,4,5,5,1],[1,2,3,4,5,1,2,3],
   [1,2,3,4,5,2,3,1],[1,2,3,4,5,3,1,2],[1,2,3,4,5,3,2,1],[1,2,3,1,4,5,2,4],
   [1,2,3,2,4,5,4,1],[1,2,3,4,1,5,2,4],[1,2,3,4,2,5,4,1],[1,2,3,4,4,5,1,2],
   [1,2,3,4,4,5,2,1],[1,2,1,3,3,4,5,4],[1,2,3,1,4,3,5,4],[1,2,3,3,4,4,5,1],
   [1,2,3,4,1,3,5,4],[1,2,3,4,3,4,5,1],[1,2,3,4,4,1,5,3],[1,2,3,4,4,3,5,1],
   [1,2,2,3,3,4,4,5],[1,2,3,2,4,3,4,5],[1,2,3,3,4,4,2,5],[1,2,3,4,2,3,4,5],
   [1,2,3,4,3,4,2,5],[1,2,3,4,4,2,3,5],[1,2,3,4,4,3,2,5],[1,1,2,3,4,5,1,1],
   [1,2,1,3,4,1,5,1],[1,2,3,1,1,4,5,1],[1,2,2,3,4,2,2,5],[1,2,3,2,2,4,2,5],
   [1,2,3,3,3,3,4,5],[1,1,2,3,4,5,6,6],[1,2,3,4,5,6,1,2],[1,2,3,4,5,6,2,1],
   [1,2,1,3,4,5,6,5],[1,2,3,4,5,1,6,3],[1,2,3,4,5,3,6,1],[1,2,3,1,4,5,6,4],
   [1,2,3,4,1,5,6,4],[1,2,3,4,4,5,6,1],[1,2,2,3,4,5,5,6],[1,2,3,4,5,2,3,6],
   [1,2,3,4,5,3,2,6],[1,2,3,2,4,5,4,6],[1,2,3,4,2,5,4,6],[1,2,3,4,4,5,2,6],
   [1,2,3,3,4,4,5,6],[1,2,3,4,3,4,5,6],[1,2,3,4,4,3,5,6],[1,2,3,4,5,6,7,1],
   [1,2,3,4,5,6,2,7],[1,2,3,4,5,3,6,7],[1,2,3,4,4,5,6,7],[1,2,3,4,5,6,7,8]]

Symmetric Palindromes: 15
val it =
  [[1,1,1,1,1,1,1,1],[1,1,2,2,2,2,1,1],[1,2,1,2,2,1,2,1],[1,2,2,1,1,2,2,1],
   [1,1,1,2,2,1,1,1],[1,1,2,1,1,2,1,1],[1,2,1,1,1,1,2,1],[1,2,2,2,2,2,2,1],
   [1,1,2,3,3,2,1,1],[1,2,1,3,3,1,2,1],[1,2,3,1,1,3,2,1],[1,2,2,3,3,2,2,1],
   [1,2,3,2,2,3,2,1],[1,2,3,3,3,3,2,1],[1,2,3,4,4,3,2,1]] : int list list

dnfispalindrome (8) : 16
val it =
  [[1,1,1,1,1,1,1,1],[1,1,1,1,2,2,2,2],[1,1,1,2,2,3,3,3],[1,1,2,2,2,2,3,3],
   [1,2,2,2,2,2,2,3],[1,1,2,2,3,3,4,4],[1,1,1,2,3,4,4,4],[1,2,2,2,3,3,3,4],
   [1,1,2,3,3,4,5,5],[1,2,2,3,3,4,4,5],[1,2,3,3,3,3,4,5],[1,1,2,3,4,5,6,6],
   [1,2,2,3,4,5,5,6],[1,2,3,3,4,4,5,6],[1,2,3,4,4,5,6,7],[1,2,3,4,5,6,7,8]]
  : int list list

MG1 = tnf(MG2) and [MG1, rev(MG2)] = rev[MG1, rev(MG2)].


head!=palin, [head, kref(head)]=palin
- ispalindrome[1,1,2,1];
val it = false : bool
- kref[1,1,2,1];
val it = [1,2,1,1] : int list
- ispalindrome[1,1,2,1,1,2,1,1];
val it = true : bool

- ispalindrome [1,2,3,3];
val it = false : bool
- kref[1,2,3,3];
val it = [1,1,2,3] : int list
- ispalindrome[1,2,3,3,1,1,2,3];
val it = true : bool

- ispalindrome[1,2,2,3,3,4,4,2];
val it = false : bool
- [1,2,2,3] = tnf[3,4,4,2];
val it = true : bool

head!=palin, [head, rev(head)]=palin
- ispalindrome[1,2,1,3,3,1,2,1,3];
val it = false : bool
- rev[1,2,1,3];
val it = [3,1,2,1] : int list
- ispalindrome[1,2,1,3,3,1,2,1];
val it = true : bool

Semiotische Palindrome
Die Frage ist wohl, welches sind die Bedingungen dafür, dass die Wiederholung eines Morphogrammes ein Palindrom zu definieren vermag?

Für den semiotischen Fall ist die Bedingung recht einfach: Die wiederholte Zeichenreihe ist eine exakte Umkehrung, d.h. Inversion oder Reversion, der ursprünglichen Zeichenreihe: Palindrome = (ZR, rev(ZR)). D.h. der Wiederholungsmodus der Reversion ist ausreichend um ein Palindrom semiotisch zu charakterisieren.

Rekursive Definition für semiotische Palindrome
Die induktive bzw. rekursive Definition für Palindrome sieht wie folgt aus:
1. Das leere Wort ϵ (das Wort der Länge 0, der „Leerstring“) ist ein Palindrom.
2. Jedes Wort x der Länge 1 ist ein Palindrom.
3. Ist α ein Symbol und x ein Palindrom, so ist αxα ein Palindrom.
4. Kein anderes Wort ist ein Palindrom. (WiKi, Palindrom)

Morphogrammatischer Fall
Die Konstruktion von morphogrammatischen Palindromen lässt eine weitere interessante Abstraktion definieren.

Bestimmung von Palindromen
Es lassen sich mindestens zwei interessante Vorgehensweisen zur Bestimmung eines morphogrammatischen Palindromes unterscheiden:
1. Gegeben sei ein beliebiges Morphogramm. Wie lässt sich aus diesem beliebigen Morphogramm ein Palindrom konstruieren?
Die ersten zu unterscheidenden Modi scheinen einfach defineirbar zu sein: Repetition und Reversion. Schwieriger zu bestimmen sind die verschiedenen Varianten des Modus der Akkretion. Dieser ist allerdings auch für die akkretive Repetition und akkretive Reversion zu beachten.

2. Gegeben sei ein Palindrom beliebiger Länge. Wie lässt sich daraus die Menge aller Palindrome gleicher Länge (mit gleichem Kopf)konstruieren?
Es kann wohl angenommen, dass alle aus dem gegebenen Palindrom konstruierten Palindrome bezüglich ihres Kopfes, d.h. der ersten Hälfte des gegebenen Palindromes übereinstimmen. Dieser Fall lässt sich als eine spezielle Form der Emanation von Palindromen verstehen.
3. Zudem lässt sich das nicht-konstruktive Verfahren der Filterung benutzen. Es wird die Tcontexture der Länge n aufgerufen, womit alle Tritogramme der Länge n produziert werden. Daraus werden durch Filterung, List.filter ispalindrome “Tcontecture (n)”, die gültigen Palindrome selektiert. Dies gibt jedoch kein konstruktives Verfahren zur Bestimmung von Palindromen an.

Die Auflistung der aller Morphogramme einer Kontextur durch “Tcontexture(n)", kann allerdings in Grössenordnungen führen, die für Computer des gemeinen Hausgebrauchs nicht mehr zugänglich sind. Dem lässt sich ein wenig begegnen, wenn die Abstraktion der Deuterogramme eingeführt wird, berechnet durch “Dcontexture(n)".

Eine andere Zugangsweise ist gegeben durch die additive Konkatenation, “kconcat”, von Morphogrammen und Palindromen.

Rekursive Definition für semiotische Palindrome
[Graphics:HTMLFiles/Unterschied_74.gif]

http://jade-cheng.com/hpu/2012-spring/csci-2912/recursion/

Wenn MG1 morphogrammatisch equivalent Morphogramm MG2 ist, und zusätzlich das zusammengesetzte Morphogramm [MG1, MG2] palindromische ist, dann ist MG1 und MG2 palindromisch äquivalent: MG1 =palin MG2.

IF MG1 =MG tnf(MG2) and [MG1, rev+(MG2)] =MG rev+[MG1, rev+(MG2)]
THEN
MG1 =palin MG2.

Die zwei Konstituenten, MG1 und MG2, eines morphogrammatischen Palindromes, MG1 =MG rev(MG1), sind morphogrammatisch equivalent, wenn sie ein Palindrom definieren.

Die Frag ist, welche Umformungen MG2 von MG1 konstituieren zusammen mit MG1 ein morphogrammatische Palindrome?
Die Antwort mag leicht zirkulär erscheinen.

MG2 konstituiert mit MG1 ein Palindrom, wenn MG1 zusammen mit MG2 ein Palindrom definiert. Dann ist auch MG2 eine zulässige Umformung von MG1.

Palin = [1,1,2,3,4,2,1,1],
MG1 = [1,1,2,3]
MG2 = [4,2,1,1]
kref(MG2) = MG1
MG2 = kref(MG1).

- ispalindrome[1,1,2,3,3,4,2,2];
val it = false : bool

MG2 = [3,4,2,2]
- kref[3,4,2,2];
val it = [1,1,2,3] : int list

- kref[1,1,2,3];
val it = [1,2,3,3] : int list

Test
- ispalindrome[1,1,2,3,1,2,3,3];
val it = true : bool
- ispalindrome[1,1,2,3,3,1,2,2];
val it = true : bool
- ispalindrome[1,1,2,3,3,2,4,4];
val it = true : bool
- ispalindrome[1,1,2,3,3,4,2,2];
val it = false : bool
- ispalindrome[1,1,2,3,3,2,4,4];
val it = true : bool
- ispalindrome[1,1,2,3,3,2,4,4];
val it = true : bool
- ispalindrome[1,1,2,3,3,1,2,2];
val it = true : bool
- ispalindrome[1,1,2,3,4,1,3,3];
val it = false : bool
- ispalindrome[1,1,2,3,4,2,3,3];    tl h1 = tl h2
val it = false : bool
- ispalindrome[1,1,2,3,4,1,2,2];
val it = true : bool

- ispalindrome[1,1,2,3,4,5,6,6];
val it = true : bool
- ispalindrome[1,1,2,3,4,5,3,3];   h1 ∩ h2 != ⌀, CR
val it = false : bool
- ispalindrome[1,1,2,3,4,5,1,1];
val it = true : bool

- Tcontexture 4;
val it =
[[1,1,1,1],[1,1,2,2],[1,2,1,2],  [1,2,2,1],   
         [1,1,1,2],[1,1,2,1],[1,2,1,1], [1,2,2,2],[1,1,2,3],    [1,2,1,3] non-rev,  
[1,2,3,1], [1,2,2,3],
        [1,2,3,2] accr-rev-   ,   [1,2,3,3],
[1,2,3,4]] : int list list

Palindromes
[[1,1,1,1], rep [1,1,2,2], rep-accr
[1,2,1,2],  rep
[1,2,2,1], rev ,  [1,2,3,1], rev-accr,   [1,2,2,3], rep-accr,  [1,2,3,4] rep-accr.

Alle Palindrom-konforme Umformungen  MG2 von MG1 sind Akkretionen von Repetitionen oder Inversionen von MG1.

Es wird also zwischen semiotischer, morphogrammatischer und palindromischer Äquivalenz unterschieden.

Die palindromischer Äquivalenz ist für semiotische Palindrome unter der Reversion rev trivial. Für sie gilt: mit Zeichenreihe ZR1 = (1,2,2,3) und ZR2 = rev(ZR1), gilt das Palindrom ZRrev = (ZR1, rev(ZR1)). Was der klassischen Definition eines Palindromes entspricht.
Damit gilt auch die palindromische Äquivalenz: ZR1 typeset structure ZR2.

Nicht jede Repetition erzeugt ein Palindrom:

- ispalindrome[1,1,1,2,1,1,1,2];
val it = false : bool

Der Grund liegt darin, dass das Morphogramm [1,1,1,2] kein Palindrom darstellt.

Ist jedoch das zu repetierende Morphogramm ein Palindrom, dann ist trivialerweise auch die Repetition ein Palindrom:

head=palin, [palin, palin]=palin
- ispalindrome [1,2,3,1];
val it = true : bool
- ispalindrome[1,2,3,1,1,2,3,1];
val it = true : bool

ispalindrome [1,2,3,4];
val it = true : bool
- ispalindrome[1,2,3,4,1,2,3,4];
val it = true : bool

Palin = [palin, rep(palin)]

Jedoch erzeugt jede Reversion auch auf dem morphogrammatischen Level ein Palindrom:

- ispalindrome[1,2,2,3,3,2,2,1];
val it = true : bool

Die intressantesten Wiederholungen sind gewiss die Wiederholungen im Sinne von Umformungen. Nach dem Motto “iterations  alter” sind Umformungen nicht mehr an die getreue Wiederholung des Originals, sei es durch Repetition oder durch Umkehrung, gebunden.

Nichtsdestotrotz sind Umformung immer noch morphogrammatisch äquivalent ihren Originalen gegenüber.

Jedoch gilt auch hier, nicht jede morphogrammatisch äquivalente Umformung bildet zusammen mit dem Original ein Palindrom.

Beispiel
Gegeben sei das Palindrome = [1,2,1,3,3,1,4,1].
Hier ist MG1 = [1,2,1,3] kein Palindrome.
MG2 = [3,1,4,1] ist auch nicht einfach tnf([MG1]), sondern verlangt eine Reversion: tnf(rev([MG1]).

MG1 und MG2 sind keine Palindrome. Jedoch ist die Komposition [MG1, MG2] ein Palindrom.

- ispalindrome [1,2,1,3,3,1,4,1];
val it = true : bool
- [1,2,1,3] = tnf(rev[3,1,4,1]);
val it = true : bool
Jedoch:
- [1,2,1,3] = rev(tnf[3,1,4,1]);
val it = false : bool
Und:
- tnf[3,1,4,1];
val it = [1,2,3,2] : int list
- ispalindrome[1,2,3,2];
val it = false : bool

Der Fall, das MG1 ein Teil-Palindrom im Gesamt-Palindrom ist, stellt sich somit als Spezialfall heraus.

Es ist nicht notwendig, dass MG1 selbst ein Palindrom ist, um durch seine Umformung ein Palindrom zu bestimmen.
Damit nähert sich diese Untersuchung dem klassischen Ausgangspunkt zu, nachdem jedwede Zeichenreihe zum Palindrom wird, wenn sie mit ihrer Verdoppelung und Reversion verknüpft wird.

Klassische Situation
Nehme eine belibige Zeichenreihe, füge ihre Inversion an, und das Resultat ist ein Palindrom.
Wenn die beliebige Zeichenreihe selbst ein Palindrome ist, gilt die Verknüpfung der Inversion trivialerweise.
Also gilt das Lemma:
Nehme ein Palindrom, wiederhole es, und das Resultat ist ein Palindrom.

Morphogrammatische Situation
Nehme ein Palindrom, wiederhole es in Trito-Normalform, und das Resultat ist ein Palindrom.
Nehme ein beliebiges Morphogramm, füge seine Inversion an, und das Resultat ist ein Palindrom.

Palindrome = [1,2,3,4,4,5,1,2]
MG1 = [1,2,3,4], MG1 ∈ Palin
MG2 = [4,5,1,2]
tnf[MG2] = MG1

- ispalindrome[1,2,3,4,1,4,2,3];
val it = false : bool

ispalindrome [1,2,3,4,5,1,2,3];
val it = true : bool

- ispalindrome[1,2,3,4];
val it = true : bool

- ispalindrome[5,1,2,3];
val it = false : bool

- tnf[5,1,2,3];
val it = [1,2,3,4] : int list

Allgemeines Schema

Palindrom  _ MG = (                                     rep                        ) m ...                          accr                            accretion : ω = ω 

1.5.7.  Palindrom (8)

Ordnung muss sein. Speziell für Palindrome, die noch wenig erforscht sind.

Vergleich
- kconcat[1,1][1,1];
val it = [[1,1,1,1],[1,1,2,2]] : int list list
- kconcat[1,2][1,2];
val it =
  [[1,2,1,2],[1,2,2,1],[1,2,1,3],[1,2,3,1],[1,2,2,3],[1,2,3,2],[1,2,3,4]]
  : int list list-

Besipiel
ispalindrome “ kconcat [1,2,2,3][1,2,2,3]"  =  ispalindrome “Tcontexture/head =[1,2,2,3]" = card 14

- kconcat [1,2,2,3][1,2,2,3]; : 34
val it =
  [[1,2,2,3,1,2,2,3],[1,2,2,3,1,3,3,2],[1,2,2,3,2,1,1,3],[1,2,2,3,2,3,3,1], : non-palin
   [1,2,2,3,3,1,1,2],[1,2,2,3,3,2,2,1],[1,2,2,3,1,2,2,4],[1,2,2,3,1,4,4,2],
   [1,2,2,3,2,1,1,4],[1,2,2,3,2,4,4,1],[1,2,2,3,4,1,1,2],[1,2,2,3,4,2,2,1],
   [1,2,2,3,1,3,3,4],[1,2,2,3,1,4,4,3],[1,2,2,3,3,1,1,4],[1,2,2,3,3,4,4,1],
   [1,2,2,3,4,1,1,3],[1,2,2,3,4,3,3,1],[1,2,2,3,1,4,4,5],[1,2,2,3,4,1,1,5],
   [1,2,2,3,4,5,5,1],[1,2,2,3,2,3,3,4],[1,2,2,3,2,4,4,3],[1,2,2,3,3,2,2,4],
   [1,2,2,3,3,4,4,2],[1,2,2,3,4,2,2,3],[1,2,2,3,4,3,3,2],[1,2,2,3,2,4,4,5],
   [1,2,2,3,4,2,2,5],[1,2,2,3,4,5,5,2],[1,2,2,3,3,4,4,5],[1,2,2,3,4,3,3,5],
   [1,2,2,3,4,5,5,3],[1,2,2,3,4,5,5,6]] : int list list

List.filter ispalindrome “kconcat [1,2,2,3][1,2,2,3]" : 14
val it =
  [[1,2,2,3,1,2,2,3],  [1,2,2,3,2,3,3,1],  [1,2,2,3,3,1,1,2], [1,2,2,3,3,2,2,1],
   [1,2,2,3,4,1,1,2],  [1,2,2,3,4,2,2,1], [1,2,2,3,1,4,4,3], [1,2,2,3,3,4,4,1],
   [1,2,2,3,4,5,5,1],  [1,2,2,3,2,3,3,4],  [1,2,2,3,3,2,2,4], [1,2,2,3,4,2,2,5],
   [1,2,2,3,3,4,4,5],  [1,2,2,3,4,5,5,6]] : int list list

typeset structure

Some Palindrome Tables based on kconcat

- kconcat[1,1,2,2][1,1,2,2];
val it =
  [[1,1,2,2,1,1,2,2],[1,1,2,2,2,2,1,1],[1,1,2,2,1,1,3,3],[1,1,2,2,3,3,1,1],     
   [1,1,2,2,2,2,3,3],[1,1,2,2,3,3,2,2],[1,1,2,2,3,3,4,4]] : int list list
Palindromes: val it =
  [[1,1,2,2,1,1,2,2],[1,1,2,2,2,2,1,1],[1,1,2,2,3,3,1,1],[1,1,2,2,2,2,3,3],
   [1,1,2,2,3,3,4,4]] : int list list

typeset structure

- kconcat[1,2,1,2][1,2,1,2];
val it =
  [[1,2,1,2,1,2,1,2],[1,2,1,2,2,1,2,1],[1,2,1,2,1,3,1,3],[1,2,1,2,3,1,3,1],
   [1,2,1,2,2,3,2,3],[1,2,1,2,3,2,3,2],[1,2,1,2,3,4,3,4]] : int list list

Palindromes: val it =
  [[1,2,1,2,1,2,1,2],[1,2,1,2,2,1,2,1],[1,2,1,2,3,1,3,1],[1,2,1,2,2,3,2,3],
   [1,2,1,2,3,4,3,4]] : int list list

typeset structure

- kconcat[1,2,2,1][1,2,2,1];
val it =
  [[1,2,2,1,1,2,2,1],[1,2,2,1,2,1,1,2],[1,2,2,1,1,3,3,1],[1,2,2,1,3,1,1,3],
   [1,2,2,1,2,3,3,2],[1,2,2,1,3,2,2,3],[1,2,2,1,3,4,4,3]] : int list list

Palindromes: val it =
  [[1,2,2,1,1,2,2,1],[1,2,2,1,2,1,1,2],[1,2,2,1,1,3,3,1],[1,2,2,1,3,2,2,3],
   [1,2,2,1,3,4,4,3]] : int list list

typeset structure

- kconcat[1,2,3,1][1,2,3,1];
val it =
  [[1,2,3,1,1,2,3,1],[1,2,3,1,1,3,2,1],[1,2,3,1,2,1,3,2],[1,2,3,1,2,3,1,2],
   [1,2,3,1,3,1,2,3],[1,2,3,1,3,2,1,3],[1,2,3,1,1,2,4,1],[1,2,3,1,1,4,2,1],
   [1,2,3,1,2,1,4,2],[1,2,3,1,2,4,1,2],[1,2,3,1,4,1,2,4],[1,2,3,1,4,2,1,4],
   [1,2,3,1,1,3,4,1],[1,2,3,1,1,4,3,1],[1,2,3,1,3,1,4,3],[1,2,3,1,3,4,1,3],
   [1,2,3,1,4,1,3,4],[1,2,3,1,4,3,1,4],[1,2,3,1,1,4,5,1],[1,2,3,1,4,1,5,4],
   [1,2,3,1,4,5,1,4],[1,2,3,1,2,3,4,2],[1,2,3,1,2,4,3,2],[1,2,3,1,3,2,4,3],
   [1,2,3,1,3,4,2,3],[1,2,3,1,4,2,3,4],[1,2,3,1,4,3,2,4],[1,2,3,1,2,4,5,2],
   [1,2,3,1,4,2,5,4],[1,2,3,1,4,5,2,4],[1,2,3,1,3,4,5,3],[1,2,3,1,4,3,5,4],
   [1,2,3,1,4,5,3,4],[1,2,3,1,4,5,6,4]] : int list list

Palindromes: val it =
  [[1,2,3,1,1,2,3,1],[1,2,3,1,1,3,2,1],[1,2,3,1,2,3,1,2],[1,2,3,1,3,1,2,3],
   [1,2,3,1,1,4,2,1],[1,2,3,1,2,4,1,2],[1,2,3,1,1,3,4,1],[1,2,3,1,3,1,4,3],
   [1,2,3,1,1,4,5,1],[1,2,3,1,4,2,3,4],[1,2,3,1,4,3,2,4],[1,2,3,1,4,5,2,4],
   [1,2,3,1,4,3,5,4],[1,2,3,1,4,5,6,4]] : int list list

typeset structure

- kconcat[1,2,2,3][1,2,2,3];
val it =
  [[1,2,2,3,1,2,2,3],[1,2,2,3,1,3,3,2],[1,2,2,3,2,1,1,3],[1,2,2,3,2,3,3,1],
   [1,2,2,3,3,1,1,2],[1,2,2,3,3,2,2,1],[1,2,2,3,1,2,2,4],[1,2,2,3,1,4,4,2],
   [1,2,2,3,2,1,1,4],[1,2,2,3,2,4,4,1],[1,2,2,3,4,1,1,2],[1,2,2,3,4,2,2,1],
   [1,2,2,3,1,3,3,4],[1,2,2,3,1,4,4,3],[1,2,2,3,3,1,1,4],[1,2,2,3,3,4,4,1],
   [1,2,2,3,4,1,1,3],[1,2,2,3,4,3,3,1],[1,2,2,3,1,4,4,5],[1,2,2,3,4,1,1,5],
   [1,2,2,3,4,5,5,1],[1,2,2,3,2,3,3,4],[1,2,2,3,2,4,4,3],[1,2,2,3,3,2,2,4],
   [1,2,2,3,3,4,4,2],[1,2,2,3,4,2,2,3],[1,2,2,3,4,3,3,2],[1,2,2,3,2,4,4,5],
   [1,2,2,3,4,2,2,5],[1,2,2,3,4,5,5,2],[1,2,2,3,3,4,4,5],[1,2,2,3,4,3,3,5],
   [1,2,2,3,4,5,5,3],[1,2,2,3,4,5,5,6]] : int list list

Palindromes: val it =
  [[1,2,2,3,1,2,2,3],[1,2,2,3,2,3,3,1],[1,2,2,3,3,1,1,2],[1,2,2,3,3,2,2,1],
   [1,2,2,3,4,1,1,2],[1,2,2,3,4,2,2,1],[1,2,2,3,1,4,4,3],[1,2,2,3,3,4,4,1],
   [1,2,2,3,4,5,5,1],[1,2,2,3,2,3,3,4],[1,2,2,3,3,2,2,4],[1,2,2,3,4,2,2,5],
   [1,2,2,3,3,4,4,5],[1,2,2,3,4,5,5,6]] : int list list

typeset structure

- kconcat[1,2,3,4][1,2,3,4];
val it =
  [[1,2,3,4,1,2,3,4],[1,2,3,4,1,2,4,3],[1,2,3,4,1,3,2,4],[1,2,3,4,1,3,4,2],
   [1,2,3,4,1,4,2,3],[1,2,3,4,1,4,3,2],[1,2,3,4,2,1,3,4],[1,2,3,4,2,1,4,3],
   [1,2,3,4,2,3,1,4],[1,2,3,4,2,3,4,1],[1,2,3,4,2,4,1,3],[1,2,3,4,2,4,3,1],
   [1,2,3,4,3,1,2,4],[1,2,3,4,3,1,4,2],[1,2,3,4,3,2,1,4],[1,2,3,4,3,2,4,1],
   [1,2,3,4,3,4,1,2],[1,2,3,4,3,4,2,1],[1,2,3,4,4,1,2,3],[1,2,3,4,4,1,3,2],
   [1,2,3,4,4,2,1,3],[1,2,3,4,4,2,3,1],[1,2,3,4,4,3,1,2],[1,2,3,4,4,3,2,1],
   [1,2,3,4,1,2,3,5],[1,2,3,4,1,2,5,3],[1,2,3,4,1,3,2,5],[1,2,3,4,1,3,5,2],
   [1,2,3,4,1,5,2,3],[1,2,3,4,1,5,3,2],[1,2,3,4,2,1,3,5],[1,2,3,4,2,1,5,3],
   [1,2,3,4,2,3,1,5],[1,2,3,4,2,3,5,1],[1,2,3,4,2,5,1,3],[1,2,3,4,2,5,3,1],
   [1,2,3,4,3,1,2,5],[1,2,3,4,3,1,5,2],[1,2,3,4,3,2,1,5],[1,2,3,4,3,2,5,1],
   [1,2,3,4,3,5,1,2],[1,2,3,4,3,5,2,1],[1,2,3,4,5,1,2,3],[1,2,3,4,5,1,3,2],
   [1,2,3,4,5,2,1,3],[1,2,3,4,5,2,3,1],[1,2,3,4,5,3,1,2],[1,2,3,4,5,3,2,1],
   [1,2,3,4,1,2,4,5],[1,2,3,4,1,2,5,4],[1,2,3,4,1,4,2,5],[1,2,3,4,1,4,5,2],
   [1,2,3,4,1,5,2,4],[1,2,3,4,1,5,4,2],[1,2,3,4,2,1,4,5],[1,2,3,4,2,1,5,4],
   [1,2,3,4,2,4,1,5],[1,2,3,4,2,4,5,1],[1,2,3,4,2,5,1,4],[1,2,3,4,2,5,4,1],
   [1,2,3,4,4,1,2,5],[1,2,3,4,4,1,5,2],[1,2,3,4,4,2,1,5],[1,2,3,4,4,2,5,1],
   [1,2,3,4,4,5,1,2],[1,2,3,4,4,5,2,1],[1,2,3,4,5,1,2,4],[1,2,3,4,5,1,4,2],
   [1,2,3,4,5,2,1,4],[1,2,3,4,5,2,4,1],[1,2,3,4,5,4,1,2],[1,2,3,4,5,4,2,1],
   [1,2,3,4,1,2,5,6],[1,2,3,4,1,5,2,6],[1,2,3,4,1,5,6,2],[1,2,3,4,2,1,5,6],
   [1,2,3,4,2,5,1,6],[1,2,3,4,2,5,6,1],[1,2,3,4,5,1,2,6],[1,2,3,4,5,1,6,2],
   [1,2,3,4,5,2,1,6],[1,2,3,4,5,2,6,1],[1,2,3,4,5,6,1,2],[1,2,3,4,5,6,2,1],
   [1,2,3,4,1,3,4,5],[1,2,3,4,1,3,5,4],[1,2,3,4,1,4,3,5],[1,2,3,4,1,4,5,3],
   [1,2,3,4,1,5,3,4],[1,2,3,4,1,5,4,3],[1,2,3,4,3,1,4,5],[1,2,3,4,3,1,5,4],
   [1,2,3,4,3,4,1,5],[1,2,3,4,3,4,5,1],[1,2,3,4,3,5,1,4],[1,2,3,4,3,5,4,1],
   [1,2,3,4,4,1,3,5],[1,2,3,4,4,1,5,3],[1,2,3,4,4,3,1,5],[1,2,3,4,4,3,5,1],
   [1,2,3,4,4,5,1,3],[1,2,3,4,4,5,3,1],[1,2,3,4,5,1,3,4],[1,2,3,4,5,1,4,3],
   [1,2,3,4,5,3,1,4],[1,2,3,4,5,3,4,1],[1,2,3,4,5,4,1,3],[1,2,3,4,5,4,3,1],
   [1,2,3,4,1,3,5,6],[1,2,3,4,1,5,3,6],[1,2,3,4,1,5,6,3],[1,2,3,4,3,1,5,6],
   [1,2,3,4,3,5,1,6],[1,2,3,4,3,5,6,1],[1,2,3,4,5,1,3,6],[1,2,3,4,5,1,6,3],
   [1,2,3,4,5,3,1,6],[1,2,3,4,5,3,6,1],[1,2,3,4,5,6,1,3],[1,2,3,4,5,6,3,1],
   [1,2,3,4,1,4,5,6],[1,2,3,4,1,5,4,6],[1,2,3,4,1,5,6,4],[1,2,3,4,4,1,5,6],
   [1,2,3,4,4,5,1,6],[1,2,3,4,4,5,6,1],[1,2,3,4,5,1,4,6],[1,2,3,4,5,1,6,4],
   [1,2,3,4,5,4,1,6],[1,2,3,4,5,4,6,1],[1,2,3,4,5,6,1,4],[1,2,3,4,5,6,4,1],
   [1,2,3,4,1,5,6,7],[1,2,3,4,5,1,6,7],[1,2,3,4,5,6,1,7],[1,2,3,4,5,6,7,1],
   [1,2,3,4,2,3,4,5],[1,2,3,4,2,3,5,4],[1,2,3,4,2,4,3,5],[1,2,3,4,2,4,5,3],
   [1,2,3,4,2,5,3,4],[1,2,3,4,2,5,4,3],[1,2,3,4,3,2,4,5],[1,2,3,4,3,2,5,4],
   [1,2,3,4,3,4,2,5],[1,2,3,4,3,4,5,2],[1,2,3,4,3,5,2,4],[1,2,3,4,3,5,4,2],
   [1,2,3,4,4,2,3,5],[1,2,3,4,4,2,5,3],[1,2,3,4,4,3,2,5],[1,2,3,4,4,3,5,2],
   [1,2,3,4,4,5,2,3],[1,2,3,4,4,5,3,2],[1,2,3,4,5,2,3,4],[1,2,3,4,5,2,4,3],
   [1,2,3,4,5,3,2,4],[1,2,3,4,5,3,4,2],[1,2,3,4,5,4,2,3],[1,2,3,4,5,4,3,2],
   [1,2,3,4,2,3,5,6],[1,2,3,4,2,5,3,6],[1,2,3,4,2,5,6,3],[1,2,3,4,3,2,5,6],
   [1,2,3,4,3,5,2,6],[1,2,3,4,3,5,6,2],[1,2,3,4,5,2,3,6],[1,2,3,4,5,2,6,3],
   [1,2,3,4,5,3,2,6],[1,2,3,4,5,3,6,2],[1,2,3,4,5,6,2,3],[1,2,3,4,5,6,3,2],
   [1,2,3,4,2,4,5,6],[1,2,3,4,2,5,4,6],[1,2,3,4,2,5,6,4],[1,2,3,4,4,2,5,6],
   [1,2,3,4,4,5,2,6],[1,2,3,4,4,5,6,2],[1,2,3,4,5,2,4,6],[1,2,3,4,5,2,6,4],
   [1,2,3,4,5,4,2,6],[1,2,3,4,5,4,6,2],[1,2,3,4,5,6,2,4],[1,2,3,4,5,6,4,2],
   [1,2,3,4,2,5,6,7],[1,2,3,4,5,2,6,7],[1,2,3,4,5,6,2,7],[1,2,3,4,5,6,7,2],
   [1,2,3,4,3,4,5,6],[1,2,3,4,3,5,4,6],[1,2,3,4,3,5,6,4],[1,2,3,4,4,3,5,6],
   [1,2,3,4,4,5,3,6],[1,2,3,4,4,5,6,3],[1,2,3,4,5,3,4,6],[1,2,3,4,5,3,6,4],
   [1,2,3,4,5,4,3,6],[1,2,3,4,5,4,6,3],[1,2,3,4,5,6,3,4],[1,2,3,4,5,6,4,3],
   [1,2,3,4,3,5,6,7],[1,2,3,4,5,3,6,7],[1,2,3,4,5,6,3,7],[1,2,3,4,5,6,7,3],
   [1,2,3,4,4,5,6,7],[1,2,3,4,5,4,6,7],[1,2,3,4,5,6,4,7],[1,2,3,4,5,6,7,4],
   [1,2,3,4,5,6,7,8]] : int list list

Palindromes: val it =
  [[1,2,3,4,1,2,3,4],[1,2,3,4,1,3,2,4],[1,2,3,4,2,1,4,3],[1,2,3,4,2,3,4,1],
   [1,2,3,4,3,4,1,2],[1,2,3,4,3,4,2,1],[1,2,3,4,4,1,2,3],[1,2,3,4,4,2,3,1],
   [1,2,3,4,4,3,1,2],[1,2,3,4,4,3,2,1],[1,2,3,4,5,1,2,3],[1,2,3,4,5,2,3,1],
   [1,2,3,4,5,3,1,2],[1,2,3,4,5,3,2,1],[1,2,3,4,1,5,2,4],[1,2,3,4,2,5,4,1],
   [1,2,3,4,4,5,1,2],[1,2,3,4,4,5,2,1],[1,2,3,4,5,6,1,2],[1,2,3,4,5,6,2,1],
   [1,2,3,4,1,3,5,4],[1,2,3,4,3,4,5,1],[1,2,3,4,4,1,5,3],[1,2,3,4,4,3,5,1],
   [1,2,3,4,5,1,6,3],[1,2,3,4,5,3,6,1],[1,2,3,4,1,5,6,4],[1,2,3,4,4,5,6,1],
   [1,2,3,4,5,6,7,1],[1,2,3,4,2,3,4,5],[1,2,3,4,3,4,2,5],[1,2,3,4,4,2,3,5],
   [1,2,3,4,4,3,2,5],[1,2,3,4,5,2,3,6],[1,2,3,4,5,3,2,6],[1,2,3,4,2,5,4,6],
   [1,2,3,4,4,5,2,6],[1,2,3,4,5,6,2,7],[1,2,3,4,3,4,5,6],[1,2,3,4,4,3,5,6],
   [1,2,3,4,5,3,6,7],[1,2,3,4,4,5,6,7],[1,2,3,4,5,6,7,8]] : int list list

typeset structure

- kconcat[1,2,2,3,1,2,2,3][1,2,2,3,1,2,2,3];   : 34
val it =
  [[1,2,2,3,1,2,2,3,1,2,2,3,1,2,2,3],[1,2,2,3,1,2,2,3,1,3,3,2,1,3,3,2],
   [1,2,2,3,1,2,2,3,2,1,1,3,2,1,1,3],[1,2,2,3,1,2,2,3,2,3,3,1,2,3,3,1],
   [1,2,2,3,1,2,2,3,3,1,1,2,3,1,1,2],[1,2,2,3,1,2,2,3,3,2,2,1,3,2,2,1],
   [1,2,2,3,1,2,2,3,1,2,2,4,1,2,2,4],[1,2,2,3,1,2,2,3,1,4,4,2,1,4,4,2],
   [1,2,2,3,1,2,2,3,2,1,1,4,2,1,1,4],[1,2,2,3,1,2,2,3,2,4,4,1,2,4,4,1],
   [1,2,2,3,1,2,2,3,4,1,1,2,4,1,1,2],[1,2,2,3,1,2,2,3,4,2,2,1,4,2,2,1],
   [1,2,2,3,1,2,2,3,1,3,3,4,1,3,3,4],[1,2,2,3,1,2,2,3,1,4,4,3,1,4,4,3],
   [1,2,2,3,1,2,2,3,3,1,1,4,3,1,1,4],[1,2,2,3,1,2,2,3,3,4,4,1,3,4,4,1],
   [1,2,2,3,1,2,2,3,4,1,1,3,4,1,1,3],[1,2,2,3,1,2,2,3,4,3,3,1,4,3,3,1],
   [1,2,2,3,1,2,2,3,1,4,4,5,1,4,4,5],[1,2,2,3,1,2,2,3,4,1,1,5,4,1,1,5],
   [1,2,2,3,1,2,2,3,4,5,5,1,4,5,5,1],[1,2,2,3,1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4],
   [1,2,2,3,1,2,2,3,2,4,4,3,2,4,4,3],[1,2,2,3,1,2,2,3,3,2,2,4,3,2,2,4],
   [1,2,2,3,1,2,2,3,3,4,4,2,3,4,4,2],[1,2,2,3,1,2,2,3,4,2,2,3,4,2,2,3],
   [1,2,2,3,1,2,2,3,4,3,3,2,4,3,3,2],[1,2,2,3,1,2,2,3,2,4,4,5,2,4,4,5],
   [1,2,2,3,1,2,2,3,4,2,2,5,4,2,2,5],[1,2,2,3,1,2,2,3,4,5,5,2,4,5,5,2],
   [1,2,2,3,1,2,2,3,3,4,4,5,3,4,4,5],[1,2,2,3,1,2,2,3,4,3,3,5,4,3,3,5],
   [1,2,2,3,1,2,2,3,4,5,5,3,4,5,5,3],[1,2,2,3,1,2,2,3,4,5,5,6,4,5,5,6]]
  : int list list

Palindromes head=[1,2,2,3,1,2,2,3] : 14
val it =
  [[1,2,2,3,1,2,2,3,1,2,2,3,1,2,2,3],[1,2,2,3,1,2,2,3,2,3,3,1,2,3,3,1],
   [1,2,2,3,1,2,2,3,3,1,1,2,3,1,1,2],[1,2,2,3,1,2,2,3,3,2,2,1,3,2,2,1],
   [1,2,2,3,1,2,2,3,4,1,1,2,4,1,1,2],[1,2,2,3,1,2,2,3,4,2,2,1,4,2,2,1],
   [1,2,2,3,1,2,2,3,1,4,4,3,1,4,4,3],[1,2,2,3,1,2,2,3,3,4,4,1,3,4,4,1],
   [1,2,2,3,1,2,2,3,4,5,5,1,4,5,5,1],[1,2,2,3,1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4],
   [1,2,2,3,1,2,2,3,3,2,2,4,3,2,2,4],[1,2,2,3,1,2,2,3,4,2,2,5,4,2,2,5],
   [1,2,2,3,1,2,2,3,3,4,4,5,3,4,4,5],[1,2,2,3,1,2,2,3,4,5,5,6,4,5,5,6]]

typeset structure

typeset structure


typeset structure
typeset structure

typeset structure

Sommerliche Anmerkungen
Gewiss sind solche Untersuchungen äusserst pingelig und langweilig. Umso mehr erstaunt es, welche überraschende Konsequenzen für eine Theorie der Berechenbarkeit sich ergeben, wenn diese Konzepte der asymmetrischen Palindromie auf die entsprechenden Konstruktionen der Selbstanwendung angewandt werden, die klassischerweise unweigerlich zu den bekannten Unentscheidbarkeitstheoremen führen.

Es fragt sich, ob nicht gerade diese stolzen Konstruktionen im Modus semiotischer Identität jegliche vorstellbare Langweiligkeit bei weitem übertreffen.

Es scheint mir nichts Lächerlicheres zu geben, als der jeweilige stolze Hinweis auf den eben mithilfe der Selbstanwendungsmethode konstruierte logische Widerspruch bei der Beweisführung der Unentscheidbarkeitstheoreme.

1.5.8.  Graphematics of the Stirling Turn: From equivalence classes to iterability

With this approach of the Stirling Turn, a sign sequence, string or word, is conceived as a repetition (Wiederholung) of itself. Such a string might be build of other strings that are repetitions of themselves. Finally, what is called in semiotics an atomic sign of an alphabet appears as the smallest string of self-repetition, i.e. repetition of itself.

Obviously, this approach tries not to refer to the physical graphemic occurrence of letters that leads to the definition of words as equiform appearences of physical inscriptions, i.e. of equivalence classes over equiform inscriptions.

Letters of the semiotic approach are in fact abstractions over equiform physical inscriptions.

Stability of semiotic repetition then is a consequence of the abstractness and ideality of the form of equiform inscriptions or notations.

Taking graphematics and especially the Stirling Turn (kenogrammatics) into account, repetitions are unmasked just as one very special case of iterability (Derrida). Iterability involves at least the modi of repetition (iteration), reversion, accretion and metamorphosis.

According to Derrida, a sign that is not repeatable can not be considered a sign. The consequences, that repeatability is defining signs had not been drawn further.

The proposed Stirling Turn intends to make a further step in taking iterability first. Signs then are realizations of iterability, and iterability is inscribed by morphograms. This turn corresponds the transition from perception-oriented to cognition-oriented thematizations of iscription and writing systems, i.e. the subversion from semiotics to graphematics.

Still very close to the repetition of strings with its maximal operational semiotic security and stability are the modi of iterability like reversion (reversion) and alterations (accretions) in contrast to metamorphosis.

Hence, the whole theory of computability shall start, in a first attempt, with the idea, concept, simulation and construction of unrestricted iterability of repetitions.

Until now, iterability is restricted to the concept of iteration of pre-given signs by the iterated application of pre-given rules (operators).

This distinction may still be correlated to the difference of abstract algebra for symbolic constructions (structures) and its ‘dual’ co-algebra for the structuration of streams.

Equality of strings are algebraically defined by equivalence classes of equiform sign sequences. Equality in co-algebras are defined as equivalences of events.

But both concepts or paradigms, the algebraic and the co-algebraic, remain in the secure culture of semiotics (and category theory) as there common ground.

Morphogrammatic equivalence is therefore defined as behavioral sameness, independently of algebraic or co-algebraic grounding.

The proposed morphogenetic turn, basically supported by the ‘Stirling turn’, is the viewpoint from which semiotics appears as a non-reflected positivism of manipulated pre-given signs.

The Stirling approach is not presupposing atomic signs and sign sequences but, ‘paradoxically', their iterability.

Morphograms, therefore, are not ultra-abstract semiotic constructions based on semiotic or truth-value strings, but unrestricted iterations of themselves.

With the strategy of introducing palindromes, and palindromy or palindromicity, as one of the fundamental categories of kenomic scripturality, an important step towards a concretization of morphogrammatic conceptualization and operationalization is achieved.

Therefore, the identity of a sign sequence is defined by its iterative palindromicity.

This suggests that each sign sequence is palindromic in itself, i.e. a symmetric iteration of itself.
The identity of a string of signs is a special case of iterability.

This might be in conflict with the semiotic definition of the equality of signs and sign-sequences.
But it becomes more obvious on the level of morphogrammatics.

Two sign sequences are equal iff the interaction (behavior) of the sequence and its re-reading are not distinguishable.

A ≡ A iff A typeset structureA = A
GSB, Mersenne

The identity of a sign sequence is not changing in the process of reading. A re-read text is equal to the read text.

Morphogrammatically, this is a very special case of repetition, i.e. iterability.

w ≡MG w iff w = iter(w)

Imitons l’Ingénieur
"L’abbé physicien Marin Mersenne (1586-1648), avec qui Descartes échangea une correspondance abondante, écrit dans ses Questions philosophiques : << c’est faire acte de vertu que de connaître par la science l’ordre exact des phénomènes, parce que par cette connaissance nous imitons l’Ingénieur divin qui lui-même a pris plaisir à agencer cette machine [le monde] >> [cité par Lenoble, op. cit. : 322]."
Suzanne Chappaz-Wirthner, Le thème de la connaissance interdite dans L’Homme au sable de E.T. Hoffmann
http://www.cairn.info/

2.  Weitere Beispiele

2.1.  Beispiele für morphoTM

1. Beispiel: Übersetzung
Übersetze das Morphogramm [AAAA] in das Morphogrammm [ABCD]
[Graphics:HTMLFiles/Unterschied_90.gif]

EN-run: typeset structuretypeset structure=>typeset structure=>typeset structure=>typeset structure
run=       [AAAA]          =>     [BAAA]        =>      [BACA]     =>      [BACD]      =>   [ABCD] => ^: accepted

Explanation
read “e”: write “v”; goto R.
read “v”: write “v”; goto R.
EN-notation, plus linearized morphogram in trito-normal form (tnf) with [AAAA] to [ABCD].
run: [AAAA] to [ABCD].

2. Beispiel: Selbstabbildung

morphoTM-AAAA2BBBB
[Graphics:HTMLFiles/Unterschied_96.gif]

Explanation
read “A”: write “B”; goto R.
read “typeset structurewrite “typeset structure goto R = acceptance state “q0”.

Transition rules
typeset structure

typeset structure

Linearized notation, plus EN-structure.

run: [AAAA] to [BBBB]
run= [AAAA]    =>     [BAAA]       =>   [BABA]      =>   [BBBA]      =>   [BBBB] => ^: accepted.

EN: typeset structuretypeset structuretypeset structuretypeset structuretypeset structure

Hence, the morphoTM transforms [AAAA} into [BBBB] with
EN[AAAA] = EN[BBBB], therefore  [AAAA] =typeset structure[BBBB].

It might be said that the morphoTM is transforming the morphogram [AAAA] into itself by changing its semiotic appearance from [AAAA] to [BBBB].
The chain "[AAAA] => [BAAA] => [BBAA] => [BBBA] => [BBBB] =MG [AAAA]" is self-applicative:

morphoTM([AAAA]) =MG [AAAA].

One more turn:
run= [AAAA]  =>  [BAAA]  =>  [BABA]  => [BBBA]  =>  [BBBB] =>
       [BBBB]  =>   [ABBB]  =>  [ABAB]  => [AAAB]  =>  [AAAA] => ^: accepted.

Hence:
morphoTM(morphoTM([AAAA])) =SEM [AAAA].

2.2.  Beispiele für morphoFSM

2.2.1.  Einfache Beispiele für Recognizer morphoFSM

Beispiel 1
ENstructure[abac] = ((1,2,v), (1,3,e), (2,3,v), (1,4,v), (2,4,v), (3,4,v)).

Hence, the linearized enumeration of the ENstructure is
num(ENstructure) = ((1,2,-)1, (1,3,-)2, (2,3,-)3,(1,4, -)4, (2,4, -)5, (3,4,-)6).

The list for ENstructure[abac] might also be written as a table:

ENstructure table of [abac] =  typeset structure

ENstructure automaton table of [abac] :

                                        typeset structure

The direction of the differentiation (arrow) is marked by (posi x posi) and the label (value) of the arrow is written by an element of {e, v}j, j∈ s(m).

Beispiel 2
typeset structure

typeset structure         

2.2.2.  Ausführliches Beispiel eines Recognizers morphoFSM

typeset structure

tnf[typeset structure = typeset structure.

typeset structure

typeset structure

typeset structure

typeset structure

Decomposition of the main table typeset structure into its sub-tables by three layered runs.

First run

typeset structure

Second run

typeset structure

Third run

typeset structure

Monomorphic decomposition of the morphogram typeset structure

typeset structure

- ENstructure[1,2,3,4,3,4];
val it =
  [[],
[(1,2,N)],
[(1,3,N),(2,3,N)],
[(1,4,N),(2,4,N),(3,4,N)],
[(1,5,N),(2,5,N),(3,5,E),(4,5,N)],
[(1,6,N),(2,6,N),(3,6,N),(4,6,E),(5,6,N)]] : (int * int * EN) list list


typeset structure

3.  Where are the diamonds left?

3.1.  What can we learn from earlier approaches?

"Living systems exist as singular entities that operate as totalities in interactions in a medium where each conserves its individual identity under the form of a unicellular or a multicellular organism. That is, living systems exist as organisms in the realization of their living.” (Maturana, p.12)

Humberto Maturana Romesin, AUTOPOIESIS, STRUCTURAL COUPLING AND COGNITION, 1999
http://www.isss.org/maturana.htm

Maturana’s concept of structural coupling which is enabling interactions and communication between different closed, i.e. autopoietic systems got many explanations.

A more advanced explanation to the concept related to the interaction between different living systems that are defining and enabeling each other is offered whith the diamond category approach.

First, autopoietic systems shouldn't start with one autopoietic system alone and then extending the framework to more than one autopoietic system. There are no genuine concepts to realize structural coupling within the means of the conception of a singular autopoietic systems.

Second, because structural coupling is focused on structures and organization and not on any information processing, a diamond approach which is dealing genuinely with structures and environment of structures might offer a mechanism of coupling.

Third, diamonds are intrinsically separated into complementary interacting parts, the system and its environment, represented by categories and saltatories.

Fourth, structural coupling is the chiastic interplay between the environment of one system and the system of the other system, and vice versa. That is, the saltatories of the first system are accepted as the environment of the second system by the categories of the second system.

Fifths, this mechanism is conceptualized in diamond semiotics as the interactionality of bi-signs of textemes.

typeset structure

As just explained, the environment of a system might be considered as an externalization of the matching conditions of the operators of the system into the system itself. These matching conditions are complementarily mirrored in the system of saltatories, i.e. the environment of the categorical compositions of the system. Between categories and saltatories of diamonds there exists a complementarity. Hence, a system might be thematized from the point of view of its saltatories or complementarily from the point of view of its  categories.

This holds at once for both systems involved in the interaction of structural coupling. The mechanism of interaction between both systems is ruled by the operation of a metamorphic chiasm. What was perturbing anonymously the system as an irritation from the environment becomes now an interaction between two autopoietic systems.

Therefore, the structural coupling happens between the environments of the autopoietic systems AUT.
The complextity and complication of the possible coupling is defined by the interacting autopoietic systems mediated by their environments under the rules of a metamorphic chiasm. Anything else, like information isn’t in the game yet.

A structural change of the saltatorical environment of a systems is enabling or forcing a change of its categorical systems insofar as the matching conditions of the categorical system which are out-sourced to its saltatorical environment have been changed. This change is realized in the system. Hence the system is answering to the perturbation by the environment, this might be connected with different types of structural learning.

Obviously, and again, the environments of a diamond system are its own environments, and that are its possibilities of existence, formally realized by the matching conditions of the morphisms of the system. At this stage, there are no informational, physical or energetic environments in play.

The conditions of the existence of systems are the environment of the systems.

Diamond systems theory is ‘in-sourcing’ those out-sourced conditions as the immanent environment of the system itself. The ‘out-sourced’ conditions are the externally set conditions that preface and pre-define a system axiomatically.

Therefore, the maintenance of a system is self-maintenance, i.e. the maintenance of the maintenance of the system. The function of maintenance of a system is maintaining the maintenance of the system.

With that, the whole aspect of circularity is at work. But instead of a classical recursive modeling as it is established for autopoietic systems, the constellation of the interplay is modeled by the diamond approach as a closed chiasm of inside/outside and system/environment.

The ‘in-sourcing’ of ‘matching conditions’ has many faces. It might happen intra-contexturally for compositions of any kind and it might happen trans-contexturally as the interplay of discontextural systems, machines, or structurations.

Any composed action occurs within the diamond approach with its own intrinsic environment.

http://www.thinkartlab.com/pkl/lola/Diamond-Category-Theory.pdf
http://www.thinkartlab.com/pkl/media/Generalized_Diamonds/Generalized_Diamonds.html

Contrasts in different directions:
I. C. Baianu and J. F. Glazebrook
CATEGORICAL ONTOLOGY OF COMPLEX SYSTEMS, META-SYSTEMS AND LEVELS: THE EMERGENCE OF LIFE, HUMAN CONSCIOUSNESS AND SOCIETY, 2010
http://cogprints.org/7754/8/BRAINpp89ICBjfg242.pdf

“The point is being often made that it is not the component atoms that are preserved in organisms (and indeed in ‘living fosils’ for geological periods of time), but the structure-function relational pattern, or indeed the associated organismic categories/supercategories. This is a very important point: only the functional organismic structure or pattern persists as it is being conserved and transmitted from one generation to the next. Biomolecules turn-over in an organism, and not infrequently, but the structure-function patterns/organismic categories remain unchanged /are conserved over long periods of time through repeated repairs and replacements of the molecular parts that need repairing, as long as the organism lives. Such stable patterns of relations are, at least in principle, amenable to logical and mathematical representation without tearing apart the living system.

"To sum it up, the operating/operational logics at both the top and the fundamental levels are non-commutative (the ‘invisible’ actor(s) who- behind the visible scene- make(s) both the action and play possible!)." (Baianu, 2010, p. 164)

3.2.  How to apply this mechanism to morphic machines?

3.2.1.  Introductory sketch

Diamond category theory was introduced 2007 as the insight into the in-sourcing of the matching conditions of compositions of morphisms, functors and categories into the very definition of compositions, functorial mappings and natural transformations of categories leading to the complementarity of categories and saltatories (saltitions, jumpoids) as a metamorphic interplay of categorical and saltatorical structurations.

A interplay between a category and its saltatory, or a saltatory with its category, is depicted by the following diagram:

typeset structure

There are two different types of complex diamonds to consider: the transitive and the intransitive modeling of saltitions.

Transitive saltitions are bridging the gap between saltitions by a pseudo-commutative closure of the basic saltitions with the help of coincidence relations between the domains and codomains of the involved saltitions (hetero-morphisms). This approach conserves the aspects of commutativity and transitivity of categories in the real of saltatories. The orientation of the hetero-morphisms is constantly in one direction.

Intransitive saltitions are bridging the gap by opening up new gaps. With that, the characteristics of saltatories as jumpoids becomes more prominent. Hence, the conservation of categorical properties is abandoned by the intransitive version of saltatories. What counts with this approach are saltitions and their jumps (salti) only.

The ‘direction’ of intransitive saltitions gets changed from level to level of hetero-morphic compositions. This also hints to the fact that saltitions are not just inverse morphisms.

It seems that the complementarity property of saltitions in respect to categories gets some more concretization by the throughout domination of jumps (typeset structure) in saltatories.

typeset structure

The principle andromicity of categories and saltatories is therefore distinguished as a mono- and a cascading directionality, corresponding to the single direction for transitive and the double directions for intransitive saltatories.

3.2.2.  Intra-contextural interplay of morphic machines

Computation (in the Framework of FSM M =typeset structure)
1. ro = q0,                            : initial
2. δ (ri, ωtypeset structure) = rtypeset structure for 0<=i> n : transition
3. rn = ∈ F                            : terminal.
Also written as r0  typeset structure rn.

A morphism is defined by the transition function δ(ri, ωtypeset structure):

qi∈Q,  typeset structure = {signs}                     posi∈ Q’,  typeset structure= {e,v}

FSM M =typeset structure)          typeset structure =typeset structure)
1. ro = q0,                               1’. ωo = q0,            
2. δ (ri, ωtypeset structure) = rtypeset structure for 0<=i> n    2’. δ' (ωtypeset structuretypeset structure) = ωtypeset structure for 0<=i> n
3. rn = ∈ F                               3’. ωn = ∈ F

Also written as r0 typeset structure rn | r'n typeset structure r'0